Question

16．如圖，質(zhì)量為0.5kg的杯子里盛有1kg的水，用繩系住水杯在豎直平面內(nèi)做“水流量”表演，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為1m（杯子可視為質(zhì)點(diǎn)）（g=10m/s²）
求：（1）若表演中繩子不松弛，則杯子在最高點(diǎn)的最小速度為多少？
   （2）水杯通過最高點(diǎn)的速度為5m/s，則在最高點(diǎn)時(shí)，繩的拉力大小和水對(duì)杯底的壓力？

Answer 1

分析 （1）表演中繩子恰好不松弛時(shí)，繩子的拉力為零，對(duì)杯子和水整體，由重力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．根據(jù)牛頓第二定律求出最小速度．
（2）以杯中水為研究對(duì)象，受到杯底對(duì)水的壓力和重力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得杯底對(duì)水的壓力，從而得到水對(duì)杯底的壓力．再對(duì)杯子和水整體為研究，由牛頓第二定律求繩子拉力．

解答 解：（1）表演中繩子恰好不松弛時(shí)，繩子的拉力為零，對(duì)杯子和水整體有：
  （M+m）g=（M+m）$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，得最小速度  v₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{10×1}$=$\sqrt{10}$m/s
（2）在最高點(diǎn)時(shí)，以杯和水整體為研究對(duì)象，豎直方向受到重力和繩的拉力作用，合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，故有：
 （M+m）g+T=（M+m）$\frac{{v}^{2}}{L}$
可得繩的拉力 T=（M+m）（ $\frac{{v}^{2}}{L}$-g）=（1+0.5）（$\frac{{5}^{2}}{1}$-10）N=22.5N
以杯中水為研究對(duì)象，水受到杯底的壓力和重力的合力提供水隨杯圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故有：
  N+Mg=M$\frac{{v}^{2}}{L}$
可得水受到杯底的壓力 N=M（$\frac{{v}^{2}}{L}$-g）=1×（$\frac{{5}^{2}}{1}$-10）=15N，方向豎直向下．
根據(jù)牛頓第三定律知，水對(duì)杯底的壓力為15N，方向豎直向上．
答：
（1）若表演中繩子不松弛，則杯子在最高點(diǎn)的最小速度為$\sqrt{10}$m/s．
（2）水杯通過最高點(diǎn)的速度為5m/s，則在最高點(diǎn)時(shí)，繩的拉力大小和水對(duì)杯底的壓力分別為22.5N和15N．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是抓住在豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，物體所受豎直方向的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力．