Question

3．如圖所示在x軸上方以原點(diǎn)O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于xOy平面并指向紙面里，在O點(diǎn)沿y軸正方向不斷的向磁場(chǎng)射入速率分別為v₁和v₂的同種粒子甲、乙，粒子甲平行x軸射出磁場(chǎng)，粒子乙射出磁場(chǎng)后，由第一象限與x軸成30°進(jìn)入第四象限，不計(jì)重力和粒子間的相互作用，則（　　）

• A． 甲粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
• B． 甲、乙粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為3：4
• C． 甲、乙粒子的動(dòng)能之比為3：1
• D． 乙粒子通過(guò)x軸的坐標(biāo)為$\sqrt{3}$R

Answer 1

分析 作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出粒子軌道半徑，根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式與粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；根據(jù)半徑公式求出速度關(guān)系，根據(jù)動(dòng)能表達(dá)式求動(dòng)能之比；根據(jù)幾何關(guān)系求粒子乙到達(dá)x軸的坐標(biāo)之比

解答 解：A、甲粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，根據(jù)幾何關(guān)系${R}_{甲}^{2}+{R}_{甲}^{2}={R}_{\;}^{2}$，得${R}_{甲}^{\;}=\frac{\sqrt{2}}{2}R$，故A正確．
B、根據(jù)兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，甲粒子軌跡圓弧所對(duì)的圓心角${θ}_{1}^{\;}$=90°，乙粒子軌跡圓弧所對(duì)的圓心角${θ}_{2}^{\;}=120°$，甲乙是同種粒子周期相同，根據(jù)$t=\frac{θ}{360}T$，$\frac{{t}_{甲}^{\;}}{{t}_{乙}^{\;}}=\frac{{θ}_{甲}^{\;}}{{θ}_{乙}^{\;}}=\frac{90°}{120°}=\frac{3}{4}$，故B正確．
C、根據(jù)幾何關(guān)系求得${R}_{乙}^{\;}=\frac{R}{\sqrt{3}}$，根據(jù)洛倫茲力$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得$R=\frac{mv}{qB}$，動(dòng)能${E}_{K}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=\frac{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2m}$，可知${E}_{K}^{\;}$與${R}_{\;}^{2}$成正比
$\frac{{E}_{K甲}^{\;}}{{E}_{K乙}^{\;}}=\frac{{R}_{甲}^{2}}{{R}_{乙}^{2}}=\frac{3}{2}$，故C錯(cuò)誤．
D、乙粒子通過(guò)x軸坐標(biāo)$x={R}_{乙}^{\;}+\frac{{R}_{乙}^{\;}}{sin30°}=3{R}_{乙}^{\;}=\sqrt{3}R$，故D正確．
故選：ABD

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律、周期公式即可正確解題，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用．