Question

13．如圖所示，一小球從半徑為R的固定半圓軌道左端A點(diǎn)正上方某處開始做平拋運(yùn)動(dòng)（小球可視為質(zhì)點(diǎn)），飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點(diǎn)．O點(diǎn)為半圓軌道圓心，OB與水平方向夾角為60°，重力加速度為g，下列說法正確的是（　�。�

• A． 小球經(jīng)B點(diǎn)后將沿著半圓軌道運(yùn)動(dòng)
• B． 小球在B點(diǎn)的加速度為$\frac{g}{2}$
• C． 小球拋出時(shí)的初速度為$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{2}}$
• D． 小球自拋出至落地點(diǎn)的過程中相同時(shí)間內(nèi)時(shí)的變化量不同

Answer 1

分析 根據(jù)幾何知識求出平拋運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的水平位移，結(jié)合速度方向，抓住平拋運(yùn)動(dòng)某時(shí)刻速度方向與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍得出豎直位移，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出初速度，結(jié)合平行四邊形定則求出B點(diǎn)的速度．抓住徑向的合力提供向心力求出B點(diǎn)支持力為零的速度，確定出小球在B點(diǎn)不受支持力，從而分析判斷．

解答 解：由幾何知識可得，小球自拋出至B點(diǎn)的水平射程為 x=R+Rcos60°=$\frac{3R}{2}$，
速度方向與水平方向的夾角為30°，設(shè)位移與水平方向的夾角為α，則tanα=$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}tan30°$，解得平拋運(yùn)動(dòng)的豎直位移y=$\frac{\sqrt{3}}{4}R$，
根據(jù)y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t得，平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v₀=$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{2}}$，故C正確．
小球在B點(diǎn)的速度${v}_{B}=\frac{{v}_{0}}{cos30°}$=$\sqrt{2\sqrt{3}gR}$，
在B點(diǎn)，若支持力為零，根據(jù)$mgcos30°=m\frac{{v}_{B}{′}^{2}}{R}$得，v_B′=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{2}}$＜v_B，可知小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，支持力為零，小球在整個(gè)過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，不會(huì)驗(yàn)證半圓軌道運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤．
由于小球在整個(gè)過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)的加速度為g，相等時(shí)間內(nèi)速度變化量相同，故B、D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)與牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，通過幾何關(guān)系和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出初速度和B點(diǎn)的速度，通過牛頓第二定律判斷B點(diǎn)支持力為零是解決本題的關(guān)鍵．