Question

7．據(jù)中國之聲《新聞高峰》報到，科學(xué)家或?qū)⒃?016年8月底公布在銀河系里發(fā)現(xiàn)一個與“地球相近似”的行星．這個行星孕育生命的可能性，這個“地球”要比上次發(fā)現(xiàn)的“地球近親比鄰星要近得多．若質(zhì)量可視為均勻分布的球形“與地球相近似”的行星的密度為ρ，半徑為R、自轉(zhuǎn)周期為T₀，若萬有引力常量為G，則（　�。�

• A． 該行星的同步衛(wèi)星的運行速率為$\frac{2πR}{{T}_{0}}$
• B． 該行星的同步衛(wèi)星的軌道半徑為$\frac{ρG{{T}_{0}}^{2}}{3π}$
• C． 該行星表面重力加速度在兩極的大小為$\frac{4}{3}$GρRπ
• D． 該行星的衛(wèi)星在星球表面附近做圓周運動的速率為2πR$\sqrt{\frac{3π}{ρG}}$

Answer 1

分析 利用行星兩極物體所受的萬有引力等于重力求出重力加速度，根據(jù)萬有引力提供向心力結(jié)合行星密度可以求出行星的衛(wèi)星在星球表面圓周運動的速度，行星同步衛(wèi)星的周期等于行星自轉(zhuǎn)周期，根據(jù)萬有引力提供向心力得到軌道半徑，行星運行速率根據(jù)v=ωr求解

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{r}_{行}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}{r}_{行}^{\;}$
得：${r}_{行}^{\;}=\root{3}{\frac{GM{T}_{0}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
由于M=ρV=$ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
解得：${r}_{行}^{\;}=\root{3}{\frac{Gρ{R}_{\;}^{3}{T}_{0}^{2}}{3π}}$，故A錯誤．
B、根據(jù)$v=ω{r}_{行}^{\;}$，該行星的同步衛(wèi)星的軌道半徑不等于行星半徑R，故B錯誤；
C、對于放置于行星兩極的質(zhì)量為m的物體，由萬有引力等于重力得出：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得：$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$…①
其中$M=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$…②
聯(lián)立①②得：$g=\frac{4}{3}gρRπ$，故C正確
D、衛(wèi)星繞行星表面做勻速圓周運動，萬有引力等于向心力，有：
${F}_{引}^{\;}={F}_{向}^{\;}$
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
由于$M=ρV=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
所以有$v=\sqrt{\frac{4π{R}_{\;}^{2}ρG}{3}}$，故D錯誤．
故選：C

點評 衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動的物理模型，關(guān)鍵是抓住兩條核心規(guī)律：一是萬有引力等于向心力，二是重力等于萬有引力，另外要注意同步衛(wèi)星的特點：定周期、定軌道、定高度．