Question

18．如圖所示，一水平的足夠長的淺色長傳送帶與平板緊靠在一起，且上表面在同一水平面．傳送帶上左端放置一質(zhì)量為m=1kg的煤塊（視為質(zhì)點），煤塊與傳送帶及煤塊與平板上表面之間的動摩擦因數(shù)為均為μ₁=0.1．初始時，傳送帶與煤塊及平板都是靜止的．現(xiàn)讓傳送帶以恒定的向右加速度a=3m/s²開始運動，當(dāng)其速度達(dá)到v=1.5m/s后，便以此速度做勻速運動．經(jīng)過一段時間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對于傳送帶不再滑動，隨后，在平穩(wěn)滑上右端平板上的同時，在平板右側(cè)施加一個水平恒力F=17N，F(xiàn)作用了0.5s時煤塊與平板速度恰相等，此時刻撤去F．最終煤塊沒有從平板上滑下，已知平板質(zhì)量M=4kg，（重力加速度為g=10m/s²），求：
（1）傳送帶上黑色痕跡的長度；
（2）有F作用期間平板的加速度大小；
（3）平板上表面至少多長（計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出煤塊在傳送帶上發(fā)生相對滑動時的加速度，結(jié)合速度時間公式求出傳送帶達(dá)到速度v的時間以及煤塊達(dá)到該速度的時間，根據(jù)運動學(xué)公式分別求出傳送帶和煤塊的位移，從而得出相對位移的大小．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出煤塊在平板車上的加速度大小，結(jié)合速度時間公式求出共同的速度大小，從而通過速度時間公式求出平板車的加速度．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出平板車與地面間的動摩擦因數(shù)，得出煤塊和平板車共速后煤塊和平板車的運動規(guī)律，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式求出平板車表面的至少長度．

解答 解：（1）煤塊在傳送帶上發(fā)生相對運動時，加速度a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=0.1×10m/s²=1 m/s²，方向向右；
設(shè)經(jīng)過時間時t₁，傳送帶達(dá)到速度v，經(jīng)過時間時t₂，煤塊速度達(dá)到v，
即v=at₁=a₁t₂，代值可得t₁=0.5s，t₂=1.5s，
傳送帶發(fā)生的位移s=$\frac{{v}^{2}}{2a}$+v（t₂-t₁）=$\frac{1．{5}^{2}}{2×3}+1.5×1m=1.875m$，
煤塊發(fā)生的位移s′=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{1．{5}^{2}}{2}=1.125m$，
黑色痕跡長度即傳送帶與煤塊發(fā)生的位移之差，即：△s=s-s′，
代入數(shù)據(jù)解得△s=0.75m．
（2）煤塊滑上平板時的速度為v₀=1.5m/s，加速度為a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=1m/s²，
經(jīng)過t₀=0.5s時速度v=v₀-a₁t₀=1.5-1×0.5m/s=1.0m/s，
平板的加速度大小a₂，則由v=a₂t₀=1.0m/s，
解得  a₂=2 m/s²．
（3）設(shè)平板與地面間動摩擦因數(shù)為μ₂，由a₂=2 m/s²，
且Ma₂=（F+μ₁mg）-μ₂（mg+Mg），代入數(shù)據(jù)解得μ₂=0.2，
由于μ₂＞μ₁，共速后煤塊將仍以加速度大小a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g勻減速，直到停止，
而平板以加速度a₃勻減速運動，Ma₃=μ₁mg-μ₂（mg+Mg），
代入數(shù)據(jù)解得a₃=-2.25 m/s²，用時t₃=$\frac{v}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{2.25}s=\frac{4}{9}s$，
所以，全程平板的位移為  S_板=$\frac{0+v}{2}（{t}_{0}+{t}_{3}）=\frac{1}{2}×（0.5+\frac{4}{9}）=\frac{17}{36}m$，
煤塊的位移S_煤=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{1．{5}^{2}}{2}m=\frac{9}{8}m$，
平板車的長度即煤塊與平板的位移之差，L=S_板-S_煤=$\frac{47}{72}m$=0.65m．
答：（1）傳送帶上黑色痕跡的長度為0.75m；
（2）有F作用期間平板的加速度大小為2m/s²；
（3）平板上表面至少0.65m．

點評 本題考查了動力學(xué)中的多過程問題，難度較大，解決本題的關(guān)鍵理清煤塊、傳送帶、平板在整個過程中的運動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式綜合求解．