Question

17．如圖，在光滑的圓錐頂用長為L的細線懸掛一質量為m的小球，圓錐體固定在水平面上不動，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為45°，物體以速率v繞圓錐體軸線做水平圓周運動（用g和L表示）：
（1）當小球即將要離開斜面時小球的速率v₀；
（2）當v=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$時，求線對物體的拉力．

Answer 1

分析 （1）先求出小球剛要離開錐面時的臨界速度，此時支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．
（2）當速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：當小球剛要離開錐面時的臨界條件為圓錐體對小球的支持力N=0，由牛頓第二定律得：
mgtan45°=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{Lsin45°}$，
解得${v}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}gL}{2}}$．
因v₁＜v₀，則N₁≠0，對小球受力分析如圖，所示．則得
  T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
  T₁sinθ-N₁sinθ=m$m\frac{{v}^{2}}{Lsin45°}$，
解得T₁=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}mg$．
答：（1）當小球即將要離開斜面時小球的速率為$\sqrt{\frac{\sqrt{2}gL}{2}}$；
（2）線對物體的拉力為$\frac{\sqrt{2}+1}{2}mg$．

點評 解決本題的關鍵找出物體的臨界情況，正確分析物體的受力情況，再運用牛頓第二定律求解．要注意小球圓周運動的半徑不是L，而是Lsinθ．