Question

探究某種筆的彈跳問(wèn)題時(shí)，把筆分為輕質(zhì)彈簧、內(nèi)芯和外殼三部分，其中內(nèi)芯和外殼質(zhì)量分別為m和4m．筆的彈跳過(guò)程分為三個(gè)階段：


①把筆豎直倒立于水平硬桌面，下壓外殼使其下端接觸桌面（圖a）；
②由靜止釋放，外殼豎直上升至下端距桌面高度為h₁時(shí)，與靜止的內(nèi)芯碰撞（圖b）；
③碰后，內(nèi)芯與外殼以共同的速度一起上升到外殼下端距桌面最大高度為h₂處（圖c）．
設(shè)內(nèi)芯與外殼的撞擊力遠(yuǎn)大于筆所受重力、不計(jì)摩擦與空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）外殼與內(nèi)芯碰撞后瞬間的共同速度大�。�
（2）從外殼離開(kāi)桌面到碰撞前瞬間，彈簧做的功；
（3）從外殼下端離開(kāi)桌面到上升至h₂處，筆損失的機(jī)械能．

Answer 1

設(shè)外殼上升高度h₁時(shí)速度為V₁，外殼與內(nèi)芯碰撞后瞬間的共同速度大小為V₂，
（1）對(duì)外殼和內(nèi)芯，從撞后達(dá)到共同速度到上升至h₂處，應(yīng)用動(dòng)能定理有：
（4m+m）g（ h₂-h₁）=

1

2

（4m+m）V₂²，
解得V₂=

2g(h2-h1)

；
（2）外殼和內(nèi)芯，碰撞過(guò)程瞬間動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律有：
4mV₁=（4m+m）V₂，
解得V₁=

5

4

2g(h2-h1)

，
設(shè)從外殼離開(kāi)桌面到碰撞前瞬間彈簧做功為W，在此過(guò)程中，對(duì)外殼應(yīng)用動(dòng)能定理有
W-4mgh₁=

1

2

（4m）V₁²，
解得：W=

25h2-9h1

4

mg；
（3）由于外殼和內(nèi)芯達(dá)到共同速度后上升高度h₂的過(guò)程，機(jī)械能守恒，只是在外殼和內(nèi)芯碰撞過(guò)程有能量損失，損失的能量為E_損=

1

2

（4m）V₁²-

1

2

（4m+m）V₂²，
聯(lián)立解得E_損=

5

4

mg（h₂-h₁）．
答：（1）外殼與內(nèi)芯碰撞后瞬間的共同速度大小是

2g(h2-h1)

；
（2）從外殼離開(kāi)桌面到碰撞前瞬間，彈簧做的功是

25h2-9h1

4

mg；
（3）從外殼下端離開(kāi)桌面到上升至h₂處，筆損失的機(jī)械能

5

4

mg（h₂-h₁）．