Question

4．如圖所示為一電磁選礦、傳輸一體機(jī)的傳送帶示意圖，已知傳送帶由電磁鐵組成，位于A輪附近的鐵礦石被傳送帶吸引后，會(huì)附著在A輪附近的傳送帶上，被選中的鐵礦石附著在傳送帶上與傳送帶之間有恒定的電磁力作用且電磁力垂直于接觸面，且吸引力為其重力的1.4倍，當(dāng)有鐵礦石附著在傳送帶上時(shí)，傳送帶便會(huì)沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，并將所選中的鐵礦石送到B端，由自動(dòng)卸貨裝置取走．已知傳送帶與水平方向夾角為53°，鐵礦石與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，A、B兩輪間的距離為L=64m，A、B兩輪半徑忽略不計(jì)，g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）若傳送帶以恒定速率v₀=10m/s傳動(dòng)，求被選中的鐵礦石從A端運(yùn)動(dòng)到B所需要的時(shí)間；
（2）若所選鐵礦石質(zhì)量為200kg，求在（1）條件下鐵礦石與傳送帶之間產(chǎn)生的熱量；
（3）實(shí)際選礦傳送帶設(shè)計(jì)有節(jié)能系統(tǒng)，當(dāng)沒有鐵礦石附著傳送帶時(shí)，傳送帶速度幾乎為0，一旦有鐵礦石吸附在傳送帶上時(shí)，傳送帶便會(huì)立即加速啟動(dòng)，要使鐵礦石最快運(yùn)送到B端，傳送帶的加速度至少為多大？并求出最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）物體放在傳送帶上后，開始階段，傳送帶的速度大于物體的速度，傳送帶給物體一沿斜面向上的滑動(dòng)摩擦力，物體由靜止開始加速下滑，當(dāng)物體加速至與傳送帶速度相等時(shí)，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由此求出時(shí)間，然后求出兩段時(shí)間的和即可；
（2）根據(jù)摩擦生熱特點(diǎn)可知Q=f△s即可求出；
（3）只有鐵礦石一直加速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，所用時(shí)間才會(huì)最短，根據(jù)問題（1）的加速度，由位移公式即可求出．

解答 解：（1）當(dāng)傳送帶勻速向上傳動(dòng)時(shí)，對(duì)鐵礦石受力分析如圖所示，鐵礦石受到沿傳送帶向上的摩擦力、重力、吸引力和支持力作用，根據(jù)牛頓第二定律可得
沿傳送帶方向f-mgsinθ=ma 
垂直傳送帶方向：N-mgcosθ-F=0
其中f=μN(yùn)
解得：a=2 m/s²
則鐵礦石運(yùn)動(dòng)則與傳送帶速度相等所需要的時(shí)間為：
t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{10}{2}=5$s 
對(duì)應(yīng)的位移為：
x₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{5}^{2}$=25m 
根據(jù)以上計(jì)算可知，鐵礦石在傳送帶上受到的滑動(dòng)摩擦力大于鐵礦石重力沿傳送帶方向的分力，所以當(dāng)鐵礦石的速度與傳送帶速度相等以后，鐵礦石會(huì)隨傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)到B端，則其勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t₂=$\frac{L-x}{{v}_{0}}=\frac{64-25}{10}$=3.9s
所以鐵礦石從傳送帶的A端運(yùn)動(dòng)到B端所需要的時(shí)間為：t=t₁+t₂=8.9s
（2）鐵礦石與傳送帶之間滑動(dòng)時(shí)有熱量產(chǎn)生，當(dāng)鐵礦石與傳送帶相對(duì)靜止時(shí)，沒有熱量產(chǎn)生．由以上計(jì)算可知鐵礦石與傳送帶之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離為：
△s=v₀t₁-x₁=25m
根據(jù)摩擦生熱特點(diǎn)可知Q=f△s
解得：Q=5×10⁴J
（3）只有鐵礦石一直加速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，所用時(shí)間才會(huì)最短，根據(jù)問題（1）分析可知，鐵礦石在傳送帶上的最大加速度是2m/s²，所以傳送帶的最小加速度為：
α_min=2m/s² 
則有：L=$\frac{1}{2}$at² 
代入數(shù)據(jù)解得最短時(shí)間為：t'=8s
答：（1）若傳送帶以恒定速率v₀=10m/s傳動(dòng)，被選中的鐵礦石從A端運(yùn)動(dòng)到B所需要的時(shí)間是3.9s；
（2）若所選鐵礦石質(zhì)量為200kg，在（1）條件下鐵礦石與傳送帶之間產(chǎn)生的熱量是5×10⁴J；
（3）要使鐵礦石最快運(yùn)送到B端，傳送帶的加速度至少為2m/s²，最短時(shí)間是8s．

點(diǎn)評(píng) 從上述例題可以總結(jié)出，皮帶傳送物體所受摩擦力可能發(fā)生突變，不論是其大小的突變，還是其方向的突變，都發(fā)生在物體的速度與傳送帶速度相等的時(shí)刻．