Question

4．如圖為倉庫中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺皮帶傳送機組成，一臺水平傳送，A、B兩端相距3m，另一臺傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=37°，C、D兩端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以5m/s的速率順時針轉(zhuǎn)動，將質(zhì)量為10kg的一袋大米輕放在A端，到達(dá)B端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD部分（即從B到C速度大小不變），米袋與傳送帶間的動摩擦因數(shù)均為0.5．試求：（g取10m/s²）
（1）若CD部分傳送帶不運轉(zhuǎn)，求米袋沿傳送帶所能上升的最大高度；
（2）若要米袋能被送到D端，求CD部分順時針運轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件；
（3）若米袋恰能傳送到D端，則傳送一袋大米因為摩擦而產(chǎn)生的熱能為多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合運動學(xué)公式求出米袋達(dá)到水平傳送帶速度時的位移，從而判斷出米袋在傳送帶上的運動情況，再結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式求出上升的最大高度．
（2）當(dāng)米袋在傾斜傳送帶上時，當(dāng)速度大于傳送帶速度時，物體所受的摩擦力向下，米袋以較大加速度減速，當(dāng)速度小于傳送帶速度時，物體所受摩擦力向上，米袋以較小加速度減速，結(jié)合牛頓第二定律，抓住兩段過程中的位移等于傳送帶CD的長度，求出傳送帶傳動的最小速度，從而得知CD部分順時針運轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件．
（3）結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式分別求出米袋在AB段以及CD段的相對路程，從而根據(jù)Q=fx_相對求出產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）設(shè)米袋在水平傳送帶加速前進(jìn)時間為t₁，水平傳送帶的速度為v₀，米袋受力如圖所示．
由牛頓第二定律得：μmg=ma₁，
勻速時間：t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$，
位移：x₁=$\frac{{v}_{0}}{2}$t₁，
解得：x₁=2.5m＜3m．
所以米袋在水平傳送帶上先加速再勻速，到達(dá)B點的速度為5m/s．
設(shè)米袋沿CD傳送帶能上升到P點．
由牛頓第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ=ma₂，
由勻變速直線運動的速度位移公式得：
v₀²=2a₂$\frac{h}{sinθ}$
代入數(shù)據(jù)解得：h=0.75m．
（2）因tanθ=0.75＞μ=0.5，所以米袋在CD段上升過程中總會減速，設(shè)米袋在CD上先以較大加速度a₂減速，然后再以較小加速度a₃減速到D，且速度為零，設(shè)傳送帶速度為v₀′．由牛頓第二定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₂，
時間：t₂=$\frac{{v}_{0}′-{v}_{0}}{-{a}_{2}}$，
位移：x₂=$\frac{{v}_{0}+{v}_{0}′}{2}$t₂，
由牛頓第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ=ma₃，
時間：t₃=$\frac{0-{v}_{0}′}{-{a}_{3}}$，
位移：x₃=$\frac{{v}_{0}′}{2}$t₃，
由幾何關(guān)系可知：x₂+x₃=4.45m，
解得：v₀′=4m/s．即CD傳送帶順時針傳送速度大于等于4m/s．
（3）若米袋恰能到達(dá)D點，在AB傳送過程中的相對路程為：△x₁=v₀t₁-x₁
在CD傳送過程中米袋相對皮帶有往返，所以相對路程為：
△x₂=（$\frac{{v}_{0}+{v}_{0}′}{2}$-v₀′）t₂-（v₀′-$\frac{{v}_{0}′}{2}$）t₃，
熱量：Q=μmg△x₁+μmgcosθ△x₂，解得：Q=287J．
答：（1）米袋沿傳送帶所能上升的最大高度為0.75m．
（2）CD傳送帶順時針傳送速度大于等于4m/s．
（3）傳送一袋大米因為摩擦而產(chǎn)生的熱能為287J．

點評 本題是一道力學(xué)綜合題，物體運動過程復(fù)雜，本題難度較大；解決本題的關(guān)鍵理清米袋在整個過程中的運動情況，結(jié)合牛頓第二定律、功能關(guān)系以及運動學(xué)公式進(jìn)行求解．