Question

給出下列命題：
①若a，b∈R⁺，a≠b，則a³+b³＞a²b+ab²；
②若a，b，c∈R，則a²+b²+c²≥ab+bc+ca；
③若a＞0，b＞0，a+b=2，則

a

+

b

≤

2

；
④若

x+y＞4 xy＞4

，則

x＞2 y＞2

；
⑤函數(shù)y=

x2+2014

x2+2013

的最小值等于2．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：命題①②利用作差法比較大小后加以判斷；
命題③④通過舉反例說明錯(cuò)誤；
命題⑤利用函數(shù)的單調(diào)性求得最小值后判斷．

解答： 解：對(duì)于①，∵a，b∈R⁺，a≠b，
∴a³+b³-a²b-ab²=a²（a-b）-b²（a-b）=（a-b）²（a+b）＞0．
∴a³+b³＞a²b+ab²．命題①正確；
對(duì)于②，∵（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，
∴2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ac），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．命題②正確；
對(duì)于③，取a=

3

2

，b=

1

2

，滿足a＞0，b＞0，a+b=2，
而

a

+

b

=

3 2

+

1 2

=

6

2

+

2

2

＞

2

．命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，取x=5，y=1，滿足

x+y＞4 xy＞4

，但

x＞2 y＞2

不成立．命題④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，函數(shù)y=

x2+2014

x2+2013

=

x2+2013+1

x2+2013

=

x2+2013

+

1

x2+2013

，
∵函數(shù)y=x+

1

x

在[2013，+∞）上為增函數(shù)，
∴函數(shù)y=

x2+2014

x2+2013

的最小值等于

2014 2013

2013

．命題⑤錯(cuò)誤．
∴正確的命題有2個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，訓(xùn)練了作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小，考查了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是注意利用基本不等式求最值的條件，是中檔題．