Question

19．假設(shè)某星球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的9倍，半徑約為地球的一半．不考慮星球和地球自轉(zhuǎn)的影響，由以上數(shù)據(jù)可推算出：
（1）該星球表面重力加速度與地球表面重力加速度之比約為多少？
（2）靠近該星球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器線速度與靠近地球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器線速度之比約為多少？
（3）靠近該星球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期與靠近地球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期之比約為多少？

Answer 1

分析 在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力得到重力加速的表達(dá)式再求比值，根據(jù)萬有引力提供向心力得到線速度和周期的表達(dá)式

解答 解：（1）根據(jù)重力等于萬有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得：$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
$\frac{{g}_{星}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{星}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{星}^{2}}=\frac{9}{1}×\frac{4}{1}=\frac{36}{1}$
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力有：G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
$\frac{{v}_{星}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{星}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{星}^{\;}}}=\sqrt{\frac{9}{1}×\frac{2}{1}}=\frac{6}{\sqrt{2}}$
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$
$\frac{{T}_{星}^{\;}}{{T}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{星}^{3}}{{R}_{地}^{3}}\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{星}^{\;}}}=\sqrt{\frac{1}{8}×\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{12}$
答：（1）該星球表面重力加速度與地球表面重力加速度之比約為36：1
（2）靠近該星球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器線速度與靠近地球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器線速度之比約為$6：\sqrt{2}$
（3）靠近該星球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期與靠近地球表面沿圓軌道運(yùn)行的航天器的周期之比約為$\sqrt{2}：12$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是根據(jù)第一宇宙速度和重力加速度的表達(dá)式列式求解，其中第一宇宙速度為貼近星球表面飛行的衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力進(jìn)行分析．