Question

4．一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O．筒內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．圓筒下面有相距為d的平行金屬板M、N，其中M板帶正電荷，N板帶等量負(fù)電荷．質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子自M板邊緣的P處由靜止釋放，經(jīng)N板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場(chǎng)中．粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞后仍從S孔射出，設(shè)粒子與圓筒碰撞過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)能損失，且電荷量保持不變，在不計(jì)重力的情況下，求：
（1）M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（2）圓筒的半徑R；
（3）保持M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E不變，僅將M板向上平移$\frac{2}{3}$d，粒子仍從M板邊緣的P處由靜止釋放，粒子自進(jìn)入圓筒至從S孔射出期間，與圓筒的碰撞次數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中在加速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做功等于粒子動(dòng)能的增加；
（2）使用洛倫茲力提供向心力．求出粒子的運(yùn)動(dòng)半徑，再根據(jù)題意，正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系寫(xiě)出粒子的半徑與磁場(chǎng)的半徑的關(guān)系，從而求出磁場(chǎng)的半徑；
（3）使用動(dòng)能定理求出粒子的速度，再求出運(yùn)動(dòng)的半徑，最后判定與圓筒的碰撞次數(shù)n．

解答 解：（1）粒子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到射入磁場(chǎng)的過(guò)程，電場(chǎng)力做功．由動(dòng)能定理：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
勻強(qiáng)電場(chǎng)中有：U=Ed
聯(lián)立上式，得：$E=\frac{m{v}^{2}}{2qd}$
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后又從S點(diǎn)射出，關(guān)鍵幾何關(guān)系可知，兩碰撞點(diǎn)和S將圓筒三等分．
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，由洛倫茲力提供向心力，得：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
根據(jù)幾何關(guān)系：$r=\sqrt{3}R$
聯(lián)立上式，解得：$R=\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$
（3）保持MN之間的電場(chǎng)強(qiáng)度不變，僅將M板向上平移$\frac{2}{3}d$后，$U′=\frac{U}{3}$
$qU′=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
于是：$v′=\frac{\sqrt{3}}{3}v$，$r′=\frac{\sqrt{3}}{3}r=R$
此時(shí)粒子經(jīng)過(guò)$\frac{1}{4}$圓后與圓筒發(fā)生碰撞，所以粒子將在于圓筒壁發(fā)生3次碰撞后由S點(diǎn)射出．
答：（1）M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小$\frac{m{v}^{2}}{2qd}$；
（2）圓筒的半徑：$R=\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$
（3）保持M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E不變，僅將M板向上平移$\frac{2}{3}d$，粒子與圓筒的碰撞3次

點(diǎn)評(píng) 解決該題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的要求，正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系寫(xiě)出粒子的半徑與磁場(chǎng)的半徑的關(guān)系．該題對(duì)空間思維的能力要求比較高．