Question

12．兩塊水平的平行金屬板如圖1所示放置，金屬板左側(cè)為一加速電場(chǎng)，電壓U₀=2500V，大量質(zhì)量m=1.6×10^-14kg、電荷量q=3.2×10^-10 C的帶電粒子（不計(jì)重力）由靜止開(kāi)始，經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，連續(xù)不斷地通過(guò)小孔后沿平行板的方向從兩板正中間射入兩板之間．當(dāng)兩板電勢(shì)差為零時(shí)，這些帶電粒子通過(guò)兩板之間的時(shí)間為3t₀；當(dāng)在兩板間加如圖2所示的周期為2t₀，幅值恒為U₀（U₀=2500V）的周期性電壓時(shí)，恰好能使所有粒子均從兩板間通過(guò)．已知t₀=2×10^-6s．求：

（1）帶電粒子從加速電場(chǎng)出來(lái)時(shí)的速度？
（2）這些粒子剛穿過(guò)兩板時(shí)，偏轉(zhuǎn)位移的最大值和最小值分別是多少？
（3）偏轉(zhuǎn)位移為最大值和最小值的情況下，帶電粒子在剛穿出兩板之間時(shí)的動(dòng)能之比為多少？

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求解帶電粒子從加速電場(chǎng)出來(lái)時(shí)的速度；
（2）以電場(chǎng)力的方向?yàn)閥軸正方向，畫出電子在t=0時(shí)和t=t₀時(shí)進(jìn)入電場(chǎng)后沿電場(chǎng)力方向的速度v_y隨時(shí)間t變化的v_y-t圖象分別如圖a和圖b所示，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，再根據(jù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積計(jì)算位移；
（3）根據(jù)（2）可得射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的最大速度和最小速度，根據(jù)動(dòng)能定理得到射出電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能，再求解比值．

解答 解：（1）由動(dòng)能定理得：qU₀=$\frac{1}{2}$mv₁²   解得v₁=1×10⁶m/s；
（2）以電場(chǎng)力的方向?yàn)閥軸正方向，畫出電子在t=0時(shí)和t=t₀時(shí)進(jìn)入電場(chǎng)后沿電場(chǎng)力方向
的速度v_y隨時(shí)間t變化的v_y-t圖象分別如圖a和圖b所示，設(shè)兩平行板之間的距離為d．
根據(jù)牛頓第二定律可得粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大小為$a=\frac{qE}{m}=\frac{q{U}_{0}}{md}$；
圖a中，${v}_{1y}=a{t}_{0}=\frac{q{U}_{0}}{md}{t}_{0}$
${v}_{2y}=a•2t=\frac{2q{U}_{0}}{md}{t}_{0}$，
由圖（a）可得電子的最大側(cè)移為：
${S}_{ymax}=\frac{{v}_{1y}}{2}{t}_{0}+{v}_{1y}{t}_{0}+\frac{{v}_{1y}+{v}_{2y}}{2}{t}_{0}$=$\frac{3q{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{md}$；
而${S}_{ymax}=\fraczx3l7fx{2}$，
解得：d=$\sqrt{\frac{6q{U}_{0}}{m}}{t}_{0}=\sqrt{\frac{6×3.2×1{0}^{-10}×2500}{1.6×1{0}^{-14}}}×2×1{0}^{-6}$m=3.464cm       
由圖（b）可得電子的最小側(cè)移為
${S}_{ymin}=\frac{1}{2}{v}_{1y}{t}_{0}+{v}_{1y}{t}_{0}=\frac{3q{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{2md}=\frac1lfb7l3{4}$，
所以${S}_{ymax}=\fracxrfjvd5{2}$=1.732cm  
S_ymin=$\fracdlvr791{4}$=0.866cm                   
（3）根據(jù)（2）可得：${v}_{1y}^{2}=（\frac{q{U}_{0}}{md}{t}_{0}）^{2}=\frac{q{U}_{0}}{6m}$，
${v}_{2y}^{2}={（\frac{q{U}_{0}}{md}{2t}_{0}）}^{2}=\frac{2q{U}_{0}}{3m}$，
電子經(jīng)電壓U₀加速：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
所以$\frac{{E}_{kmax}}{{E}_{kmin}}=\frac{\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}}{\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}}=\frac{\frac{1}{2}m（{v}_{0}^{2}+{v}_{2y}^{2}）}{\frac{1}{2}m（{v}_{0}^{2}+{v}_{1y}^{2}）}=\frac{q{U}_{0}+\frac{q{U}_{0}}{3}}{q{U}_{0}+\frac{q{U}_{0}}{12}}$=$\frac{16}{13}$．
答：（1）帶電粒子從加速電場(chǎng)出來(lái)時(shí)的速度1×10⁶m/s；
（2）這些粒子剛穿過(guò)兩板時(shí)，偏轉(zhuǎn)位移的最大值為1.732cm，最小值為0.866cm；                   
（3）偏轉(zhuǎn)位移為最大值和最小值的情況下，帶電粒子在剛穿出兩板之間時(shí)的動(dòng)能之比為16：13．

點(diǎn)評(píng) 有關(guān)帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，可以從兩條線索展開(kāi)：其一，力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系．根據(jù)帶電粒子受力情況，用牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式確定帶電粒子的速度和位移等；其二，功和能的關(guān)系．根據(jù)電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做功，引起帶電粒子的能量發(fā)生變化，利用動(dòng)能定理進(jìn)行解答．