Question

17．如圖所示，一個(gè)固定在豎直平面內(nèi)的軌道，由光滑的水平面AB、半徑為R的光滑半圓弧軌道BC（圓心在O點(diǎn)）和半徑為$\sqrt{3}$R的$\frac{1}{4}$圓弧軌道DPE（圓心在C點(diǎn)）三部分組成，已知C、D兩點(diǎn)在同一水平線，C、O、E、B在同一豎直線，CP連線與豎直線CE的夾角為60°．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球在大小為F的水平恒力作用下，從靜止開始沿光滑水平面AB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，撤去水平恒力F，然后小球沿圓弧運(yùn)動(dòng)經(jīng)過C點(diǎn)，最后恰好落到P點(diǎn)．重力加速度取g．
（1）求小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；
（2）求恒力F作用的距離為多少；
（3）若改變恒力F的作用距離，能否使小球經(jīng)過C點(diǎn)且落到圓弧DE上的Q點(diǎn)（圖中未畫出），CQ連線與CE連線的夾角為30°，若能求出外力F作用的距離，若不能請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）小球從C到P做平拋運(yùn)動(dòng)，落在P點(diǎn)時(shí)由豎直位移與水平位移公式求出小球通過C點(diǎn)的速度．在C點(diǎn)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（2）對(duì)于A到C的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式求恒力F作用的距離．
（3）小球恰好通過C點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求C點(diǎn)的最小速度，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球落在圓弧DE上時(shí)CQ與CE夾角的最小值．即可作出判斷．

解答 解：（1）小球從C到P做平拋運(yùn)動(dòng)，落在P點(diǎn)時(shí)，有：
  $\sqrt{3}$Rsin30°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  $\sqrt{3}$Rcos30°=v_Ct
聯(lián)立解得：v_C=$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{4}}$
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得 mg+N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 N=（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-1）mg
由牛頓第三定律得，小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-1）mg．
（2）對(duì)于A到C的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理得
  Fs-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：恒力F作用的距離 s=$\frac{（8+3\sqrt{3}）mgR}{4F}$ 
（3）小球恰好通過C點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，則有
  mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得 v₀=$\sqrt{gR}$
對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)的過程，有：
  x=v₀t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由幾何知識(shí)有 x²+y²=（$\sqrt{3}$R）²；
聯(lián)立解得 t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
設(shè)OQ與CE的夾角為α，則 tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$
則α＞30°
所以CQ連線與CE連線的夾角不可能為30°．
答：
（1）小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-1）mg；
（2）恒力F作用的距離為$\frac{（8+3\sqrt{3}）mgR}{4F}$；
（3）若改變恒力F的作用距離，不能使小球經(jīng)過C點(diǎn)且落到圓弧DE上的Q點(diǎn)，CQ連線與CE連線的夾角為30°．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要挖掘隱含條件，如小球落在圓弧DE上時(shí)兩個(gè)分位移滿足圓方程，小球恰好通過C點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力．