Question

7．如圖所示，固定的AB軌道由半徑為r₁=0.6m和半徑為r₂=0.3m的兩段圓弧相切連接，其中AC弧對(duì)應(yīng)的圓心角為30°，A點(diǎn)與圓弧的圓心O₁等高，CB弧對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，質(zhì)量為m=2kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）．從固定的光滑圓弧軌道的最高點(diǎn)A由靜止滑下，經(jīng)最低點(diǎn)B后滑到位于光滑水平面的長(zhǎng)木板上，物塊先將彈簧壓縮至最短位置，物塊與木板的共同速度大小為v₁，彈簧后將物塊重新彈開(kāi)．物塊恰好回到木板的右端而不掉下來(lái)，物塊與木板的共同速度大小為v₂，已知v₁=v₂=v=$\frac{6}{5}$m/s，長(zhǎng)木板質(zhì)量M=3kg，其上表面與圓弧軌道相切于B點(diǎn)，長(zhǎng)木板左端有長(zhǎng)度不計(jì)的輕質(zhì)彈簧，物塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，取g=10m/s²，求
（1）小滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道壓力的大�。�
（2）長(zhǎng)木板最小長(zhǎng)度；
（3）彈簧具有的最大彈性勢(shì)能

Answer 1

分析 （1）小滑塊從A運(yùn)動(dòng)到B，由機(jī)械能守恒定律求出滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度，在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求出軌道對(duì)滑塊的支持力，再由牛頓第三定律求出滑塊對(duì)軌道的壓力．
（2）物塊先將彈簧壓縮至最短位置，彈簧后將物塊重新彈開(kāi)，物塊恰好回到木板的右端而不掉下來(lái)，物塊與木板達(dá)到共同速度．對(duì)于滑塊和木板組成的系統(tǒng)，運(yùn)用功能關(guān)系求同木板長(zhǎng)度；
（3）滑塊向左運(yùn)動(dòng)與木板達(dá)到共同速度時(shí)，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能，對(duì)系統(tǒng)，運(yùn)用功能關(guān)系求出的彈簧的彈性勢(shì)．

解答 解：（1）滑塊從A到B，由機(jī)械能守恒定律得：
 mgr₁sin30°+mgr₂（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=3m/s
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{r}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=80N
由牛頓第三定律知，小滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道壓力的大小為80N．
（2）當(dāng)物快恰好回到木板的右端而不掉下來(lái)時(shí)，對(duì)滑塊在木板滑行的整個(gè)過(guò)程，由功能關(guān)系可得：
   $\frac{1}{2}$（M+m）v²+2μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：
長(zhǎng)木板最小長(zhǎng)度 x=1.35m
（3）滑塊滑上木板將彈簧壓縮至最短時(shí)，滑塊與木板具有共同速度v，對(duì)系統(tǒng)，根據(jù)功能關(guān)系可得：
  E_P+μmgx+$\frac{1}{2}$（m+M）v²=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：
彈簧具有的最大彈性勢(shì)能 E_P=2.7J
答：
（1）小物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道壓力的大小為80N；
（2）長(zhǎng)木板最小長(zhǎng)度為1.35m；
（3）彈簧具有的最大彈性勢(shì)能為2.7J．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要抓住物快恰好回到木板的右端而不掉下來(lái)時(shí)滑塊與木板的速度相同，當(dāng)滑塊滑到最左端時(shí)滑塊與木板的速度也相同，且共同速度都是v．要注意摩擦生熱等于摩擦力與相對(duì)路程的乘積．