Question

15．如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下，足夠長(zhǎng)的水平傳送帶以恒定速率v₁順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的滑塊從傳送帶右端以水平向左的速率v₂（v₂＞v₁）滑上傳送帶，最后滑塊返回傳送帶的右端，關(guān)于這一過程，求：
（1）此過程中傳送帶對(duì)滑塊做的功；
（2）此過程中因運(yùn)送物體電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶額外做的功；
（3）此過程中滑塊與傳送帶間由于摩擦而產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 物體由于慣性沖上皮帶后，受到向左的滑動(dòng)摩擦力，減速向右滑行，之后依然受到向左的滑動(dòng)摩擦力，會(huì)繼續(xù)向左加速，然后根據(jù)v₁小于v₂的情況分析．
根據(jù)動(dòng)能定理得全過程傳送帶對(duì)物塊做的總功．根據(jù)能量守恒找出各種形式能量的關(guān)系．

解答 解：（1）由于傳送帶足夠長(zhǎng)，物體減速向左滑行，直到速度減為零，然后物體會(huì)在滑動(dòng)摩擦力的作用下向右加速，由于v₁＜v₂，物體會(huì)先在滑動(dòng)摩擦力的作用下加速，當(dāng)速度增大到等于傳送帶速度時(shí)，物體還在傳送帶上，之后不受摩擦力，故物體與傳送帶一起向右勻速運(yùn)動(dòng)，有v′₂=v₁，此過程中只有傳送帶對(duì)滑塊做功根據(jù)動(dòng)能定理W′=△E_K得
W=△E_K=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²；
（2、3）設(shè)滑塊向左運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁，位移為x₁，則：x₁=$\overline{{v}_{2}}$t₁=$\frac{{v}_{2}}{2}$t₁
摩擦力對(duì)滑塊做功：W₁=fx₁=f$\frac{{v}_{2}}{2}$t₁①
又摩擦力做功等于滑塊動(dòng)能的減小，即：W₁=$\frac{1}{2}$mv₂²  ②
該過程中傳送帶的位移：x₂=v₁t₁
摩擦力對(duì)滑塊做功：W₂=fx₂=fv₁t₁=fv₁$\frac{2{x}_{1}}{{v}_{2}}$=2fx$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$③
將①②代入③得：W₂=mv₁v₂
設(shè)滑塊向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂，位移為x₃，則：x₃=$\frac{{v}_{1}}{2}$t₂ 
摩擦力對(duì)滑塊做功：W₃=fx₃=$\frac{1}{2}$mv₁²
該過程中傳送帶的位移：x₄=v₁t₂=2x₃
滑塊相對(duì)傳送帶的總位移：x_相=x₁+x₂+x₄-x₃=x₁+x₂+x₃
滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)做功：W_總=fx_相對(duì)=W₁+W₂+W₃=$\frac{1}{2}$m（v₁+v₂）²
滑塊與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量大小等于通過滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)做功，Q=W_總=f•x_相=$\frac{1}{2}$m（v₁+v₂）²；
全過程中，電動(dòng)機(jī)對(duì)皮帶做的功與滑塊動(dòng)能的減小量等于滑塊與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量，即Q=W+$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²
整理得：W=Q-$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$mv₁²=mv₂²+mv₁v₂，
答：（1）此過程中傳送帶對(duì)滑塊做的功為$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²；
（2）此過程中因運(yùn)送物體電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶額外做的功為mv₂²+mv₁v₂；
（3）此過程中滑塊與傳送帶間由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為$\frac{1}{2}$m（v₁+v₂）²．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是對(duì)于物體返回的過程分析，物體先做減速運(yùn)動(dòng)，之后反向加速，最后做勻速運(yùn)動(dòng)．但是計(jì)算滑塊與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量的過程太復(fù)雜．