Question

19．如圖所示，有一半球形容器，其豎直截面為半圓．AB為沿水平方向的直徑，D是圓周的最低點(diǎn)，E是AD間某一點(diǎn)，C與E在相同的高度．一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從A點(diǎn)以速度v₀水平拋出，恰好落在E點(diǎn)，若以2v₀拋出，恰好落在C點(diǎn)，設(shè)球的半徑為R，則下列判斷正確的是（　�。�

• A． 初速度為$\frac{3{v}_{0}}{2}$時(shí)，小球恰好落在D點(diǎn)
• B． 初速度為$\frac{3{v}_{0}}{2}$時(shí)，小球?qū)⒙湓贒點(diǎn)的左側(cè)
• C． OC與豎直方向夾角的正弦值為$\frac{1}{4}$
• D． OE與豎直方向夾角的正弦值為$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為在水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)，和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)，
豎直方向上的位移已經(jīng)知道了，但是水平方向的位移要用三角形的知識(shí)來求，然后才能求圓的半徑．

解答 解：設(shè)圓半徑為r，質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平方向的位移為x，豎直方向上的位移為y，
則：x=v₀t
由于恰好落在C點(diǎn)時(shí)的初速度是恰好落在E點(diǎn)時(shí)的初速度的2倍，所以：
x_AC=2x_AE 
連接OC和OE，由于CE在同一條水平線上，由幾何關(guān)系可知它們與豎直方向之間的夾角相等，設(shè)為θ，如圖：

則：r+rsinθ=2（r-rcosθ） 
所以：sinθ=$\frac{1}{3}$；所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確；
$\frac{1}{2}{x}_{AC}={x}_{AE}=\frac{2}{3}r$
由圖可知D點(diǎn)的位置在CE點(diǎn)的下方，由：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$可知，小球到達(dá)D點(diǎn)的時(shí)間大于到達(dá)CE的時(shí)間；
若小球初速度為$\frac{3{v}_{0}}{2}$時(shí)，小球落在CE點(diǎn)之間時(shí)的位移：$x=v′t′=\frac{3{v}_{0}}{2}•t′＞\frac{3{v}_{0}}{2}•t$=$\frac{3{v}_{0}}{2}•\frac{\frac{2}{3}r}{{v}_{0}}=r$
所以若小球初速度為$\frac{3{v}_{0}}{2}$時(shí)，小球落在D點(diǎn)的右側(cè)．故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 考查平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用，但是水平方向的位移不知道，所以用的數(shù)學(xué)的知識(shí)較多，需要熟練的應(yīng)用三角形的邊角關(guān)系．