Question

如圖所示,K是粒子發(fā)生器,D₁、D₂、D₃是三塊擋板,通過傳感器可控制它們定時(shí)開啟和關(guān)閉,D₁、D₂的間距為L(zhǎng),D₂、D₃的間距為.在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系xOy中有一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),y軸和直線MN是它的左、右邊界,且MN平行于y軸.現(xiàn)開啟擋板D₁、D₃,粒子發(fā)生器僅在t=0時(shí)刻沿x軸正方向發(fā)射各種速率的粒子,D₂僅在t=nT(n=0,1,2…T為周期)時(shí)刻開啟,在t=5T時(shí)刻,再關(guān)閉擋板D₃,使粒子無法進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域.已知擋板的厚度不計(jì),粒子質(zhì)量為m、電荷量為+q(q大于0),不計(jì)粒子的重力,不計(jì)粒子間的相互作用,整個(gè)裝置都放在真空中,

(1)求能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的粒子速度大小;

(2)已知從原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)中速度最小的粒子經(jīng)過坐標(biāo)為(0 cm,2 cm)的P點(diǎn),應(yīng)將磁場(chǎng)的右邊界MN在xOy平面內(nèi)如何平移,才能使從原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)中速度最大的粒子經(jīng)過坐標(biāo)為(3 cm,6 cm)的Q點(diǎn)?

Answer 1

解析:(1)設(shè)能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的粒子的速度大小為v_n,由題意,粒子由D₁到D₂經(jīng)歷的時(shí)間為

Δt₁=nT=(n=1,2…),

粒子由D₂到D₃經(jīng)歷的時(shí)間為

Δt₂==.

t=5T時(shí)刻,擋板D₃關(guān)閉,粒子無法進(jìn)入磁場(chǎng),

故有Δt=Δt₁+Δt₂≤5T,

聯(lián)立以上三式解得n=1,2,3,

所以,能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的粒子的速度為

v_n=(n=1,2,3).

(2)進(jìn)入磁場(chǎng)中速度最小的粒子經(jīng)過坐標(biāo)為(0 cm,2 cm)的P點(diǎn),所以R=1 cm.粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),洛倫茲力提供向心力,qvB=m,

所以,粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=.

由前可知,進(jìn)入磁場(chǎng)中粒子的最大速度是最小速度的3倍,故R′=3R=3 cm.

其圓心坐標(biāo)為(0,3 cm),

其軌跡方程為x²+(y-3)²=3².

過Q點(diǎn)作圓軌跡的切線,設(shè)切點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x₀,y₀).由此粒子在F點(diǎn)進(jìn)入無磁場(chǎng)區(qū)域,它將沿直線FQ運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn).故F點(diǎn)一定在磁場(chǎng)的邊界上.

由圖可知,∠FQH=∠EFG=θ,

故tan θ=,

tan θ=,

F點(diǎn)在圓上,+(-3)²=3²,

聯(lián)立解得x₀= cm,y₀= cm.

因此,只要將磁場(chǎng)區(qū)域的邊界MN平行左移到F點(diǎn),速度最大的粒子在F點(diǎn)穿出磁場(chǎng),將沿圓軌跡的切線方向到達(dá)Q點(diǎn).

答案:(1)(n=1,2,3)

(2)MN平移到x= cm