Question

12．如圖所示，質量為m=1kg的物體自空間O點以水平初速度v₀拋出，落在地面上的A點，其軌跡為一拋物線．現仿此拋物線制作一個光滑滑道并固定在與OA完全重合的位置上，然后將此物體從O點由靜止釋放，受微小擾動而沿此滑道滑下，在下滑過程中物體未脫離滑道．P為滑道上一點，OP連線與豎直成45°角，則在P點時物體的速度是10m/s，取g=10m/s²，下列說法正確的是（　�。�

• A． 從O運動到P點的時間大于$\frac{2{v}_{0}}{g}$
• B． 物體沿滑到經過P點時速度的水平分量為5m/s
• C． 物體做平拋運動的水平初速度v₀為2$\sqrt{5}$m/s
• D． 物體沿滑道經過P點時重力的功率為40$\sqrt{5}$w

Answer 1

分析 若做平拋運動，OP連線與豎直方向成45°角，所以豎直分位移與水平分位移大小相等，根據時間可求出豎直方向的分速度和速度的大小和方向，若從O點由靜止釋放，受微小擾動而沿此滑道滑下，則物體做曲線運動，且運動過程中只有重力做功，速度方向沿切線方向．

解答 解：A、豎直分位移與水平分位移大小相等，有${v}_{0}^{\;}t=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$，$t=\frac{2{v}_{0}^{\;}}{g}$，豎直方向上的分速度${v}_{y}^{\;}=gt=2{v}_{0}^{\;}$，設瞬時速度方向與水平方向成θ角，則$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=2$，從O到P平拋運動的時間為$\frac{2{v}_{0}^{\;}}{g}$，沿滑道滑到P點，根據動能定理$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，速度沿切線方向$v=\sqrt{2gh}$，平拋運動豎直方向的分速度$v=\sqrt{2gh}$，作出平拋運動和沿滑道經過P點時速度的分解圖如圖所示，沿滑道水平方向的分速度小于平拋運動水平方向的速度${v}_{0}^{\;}$；沿滑道水平方向的平均速度一定小于平拋水平方向的平均速度，水平位移相等根據$t=\frac{x}{\overline{v}}$知沿滑道運動時間大于$\frac{2{v}_{0}^{\;}}{g}$，故A正確
B、物體沿滑道經過P點時速度與水平方向的夾角等于平拋經過P點時速度與水平方向的夾角，由A知tanθ=2，$cosθ=\frac{\sqrt{5}}{5}$，P點速度的水平分量${v}_{x}^{\;}=vcosθ=10×\frac{\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}m/s$故B錯誤
C、平拋的豎直分速度等于沿滑道過P點的合速度，即平拋${v}_{y}^{\;}=10m/s$，$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=2$，解得${v}_{0}^{\;}=5m/s$故C錯誤
D、物體沿滑道經過P點重力的瞬時功率$P=mgvcosθ=10×10×\frac{\sqrt{5}}{5}=20\sqrt{5}W$，故D錯誤．
故選：A

點評 解決本題的關鍵掌握處理平拋運動的方法，平拋運動可分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動．且分運動與合運動具有等時性．