Question

4．2007年3月1日，國家重大科學(xué)工程項(xiàng)引“EAST超導(dǎo)托卡馬克核聚變實(shí)驗(yàn)裝置“在合肥順利通過了國家發(fā)改委組織的國家竣工驗(yàn)收．作為核聚變研究的實(shí)驗(yàn)設(shè)備，EAST可為未來的聚變反應(yīng)堆進(jìn)行較深入的工程和物理方面的探索，其目的是建成一個(gè)核聚變反應(yīng)堆，屆時(shí)從l升海水中提取氫的同位素氘．在這里和氚發(fā)生完全的核聚變反應(yīng)，釋放可利用能量相當(dāng)于燃燒300公升汽油所獲得的能量．這就相當(dāng)于人類為自己制造了一個(gè)小太陽．可以得到無窮盡的清潔能源．作為核聚變研究的實(shí)驗(yàn)設(shè)備，要持續(xù)發(fā)生熱核反應(yīng)，必須把溫度高達(dá)幾百萬攝氏度以上的核材料約束在一定的空間內(nèi)，約束的辦法有多種．其中技術(shù)上相對較成熟的是用磁場約束核材料．
如圖所示為EAST部分裝置的簡化模型：垂直紙面的有環(huán)形邊界的勻強(qiáng)磁場b區(qū)域，圍著磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的圓形a區(qū)域，a區(qū)域內(nèi)的離子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)．離子的速度只要不超過某值，就不能穿過環(huán)形磁場的外邊界而逃逸，從而被約束．設(shè)離子質(zhì)量為m，電荷量為q，環(huán)形磁場的內(nèi)半徑為R₁，外半徑R₂=（1+$\sqrt{2}$）R₁．
（1）將下列核反應(yīng)方程補(bǔ)充完整，指出哪個(gè)屬于核聚變方程．并求出聚變過程中釋放的核能 E₀．已知${\;}_{1}^{2}$H 的質(zhì)量為m₂，${\;}_{1}^{3}$H的質(zhì)量為m₃．α粒子的質(zhì)量為m_α，${\;}_{0}^{1}$n的質(zhì)量為m_n  質(zhì)子質(zhì)量為m_p，電子質(zhì)量為m_e，光速為c
A、${\;}_{1}^{2}$H+${\;}_{1}^{3}$H→${\;}_{2}^{4}$He+${\;}_{0}^{1}n$
B、${\;}_{92}^{235}$U+${\;}_{0}^{1}$n→${\;}_{54}^{140}$Xe+${\;}_{38}^{94}$Sr+${2}_{0}^{1}n$
C、${\;}_{88}^{226}$Ra→${\;}_{86}^{222}$Rn+${\;}_{4}^{2}{H}_{e}^{\;}$
D、${\;}_{11}^{24}$Na→${\;}_{12}^{24}$Mg+${\;}_{-1}^{0}e$
（2）若要使從a區(qū)域沿任何方向，速率為v 的離子射入磁場時(shí)都不能越出磁場的外邊界，則b區(qū)域磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度至少為多大？
（3）若b區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．離子從a區(qū)域中心o點(diǎn)沿半徑OM方向以某一速度射入b區(qū)域，恰好不越出磁場的外邊界．請畫出在該情況下離子在a b區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡，并求出周期．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電荷數(shù)守恒和質(zhì)量數(shù)守恒填寫核反應(yīng)方程；
（2）當(dāng)離子的速度沿與內(nèi)邊界圓相切的方向射入磁場，且軌道與磁場外圓相切時(shí)所需磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度${B}_{1}^{\;}$，即為要求的值；
（3）要使沿OM方向運(yùn)動(dòng)的離子不能穿越磁場，則其在環(huán)形磁場內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡圓中最大值與磁場外邊界圓相切．

解答 解：（1）根據(jù)電荷數(shù)守恒和質(zhì)量數(shù)守恒知，A中應(yīng)為${\;}_{0}^{1}n$
B中應(yīng)為：${2}_{0}^{1}n$
C中應(yīng)為：${\;}_{2}^{4}{H}_{e}^{\;}$
D中應(yīng)為：${\;}_{-1}^{0}e$
其中屬于聚變方程的是A，質(zhì)量虧損$△m=[{m}_{2}^{\;}+{m}_{3}^{\;}-（{m}_{α}^{\;}+{m}_{n}^{\;}）]$
聚變過程中釋放的核能 ${E}_{0}^{\;}=△m{c}_{\;}^{2}=[{m}_{2}^{\;}+{m}_{3}^{\;}-（{m}_{α}^{\;}+{m}_{n}^{\;}）{]c}_{\;}^{2}$
（2）如圖1所示，當(dāng)離子的速度沿與內(nèi)邊界圓相切的方向射入磁場，且軌道與磁場外圓相切時(shí)所需磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度${B}_{1}^{\;}$，即為要求的值，設(shè)軌跡圓的半徑為${r}_{1}^{\;}$，由幾何關(guān)系有：
${r}_{1}^{\;}=\frac{{R}_{1}^{\;}+{R}_{2}^{\;}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}{R}_{1}^{\;}$
由洛倫茲力提供向心力有：$qv{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
解得：${B}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{2}mv}{q{R}_{1}^{\;}}$
（3）如圖2所示，要使沿OM方向運(yùn)動(dòng)的離子不能穿越磁場，則其在環(huán)形磁場內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡圓中最大值與磁場外邊界圓相切．設(shè)此時(shí)軌跡圓的半徑為${r}_{2}^{\;}$，速度為${v}_{2}^{\;}$，則：${r}_{2}^{2}+{R}_{1}^{2}=（{R}_{2}^{\;}-{r}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}$
由洛倫茲力提供向心力：$q{v}_{2}^{\;}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}^{\;}}$
解得：${v}_{2}^{\;}=\frac{qB{R}_{1}^{\;}}{m}$
離子在b區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：${T}_{1}^{\;}=\frac{2πm}{qB}$
離子在b區(qū)域中一次運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：
${t}_{1}^{\;}=\frac{3}{4}{T}_{1}^{\;}$
離子在a區(qū)域中由O到M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
${t}_{2}^{\;}=\frac{{R}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}$
離子在a、b區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的周期：
$T=4{t}_{1}^{\;}+8{t}_{2}^{\;}=\frac{m}{qB}（6π+g）$
答：（1）A中應(yīng)為${\;}_{0}^{1}n$
B中應(yīng)為：${2}_{0}^{1}n$
C中應(yīng)為：${\;}_{2}^{4}{H}_{e}^{\;}$
D中應(yīng)為：${\;}_{-1}^{0}e$
其中屬于聚變方程的是A，質(zhì)量虧損$△m=[{m}_{2}^{\;}+{m}_{3}^{\;}-（{m}_{α}^{\;}+{m}_{n}^{\;}）]$
聚變過程中釋放的核能 ${E}_{0}^{\;}=[{m}_{2}^{\;}+{m}_{3}^{\;}-（{m}_{α}^{\;}+{m}_{n}^{\;}）]{c}_{\;}^{2}$
（2）若要使從a區(qū)域沿任何方向，速率為v 的離子射入磁場時(shí)都不能越出磁場的外邊界，則b區(qū)域磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度至少為$\frac{\sqrt{2}mv}{q{R}_{1}^{\;}}$
（3）該情況下離子在a b區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡如圖，周期為$\frac{m}{qB}（6π+g）$．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是確定出符合題意的臨界情況，然后由幾何知識確定半徑后由牛頓第二定律求其他量，解決本題關(guān)鍵是要有耐心，題目閱讀量較大．