Question

6．如圖所示，兩根足夠長的平行金屬導(dǎo)軌水平固定，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，間距L=1m．導(dǎo)軌上放有兩根金屬棒，棒a的質(zhì)量m₁=2kg，電阻R₁=0.2Ω，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2；光滑棒b的質(zhì)量m₂=1kg，電阻R₂=0.3Ω．整個(gè)裝置處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T，棒a、b始終與軌道垂直、兩端與軌道剛好接觸且良好接觸，已知最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取g=10m/s²．t=0時(shí)，對棒b施加一垂直棒的水平力F，使之從靜止開始向右做加速度a₀=0.1m/s²的勻加速運(yùn)動(dòng)，直至棒a開始運(yùn)動(dòng)，考查這一過程，完成以下問題．
（1）寫出力F與時(shí)間t的關(guān)系式；
（2）通過棒b橫截面的電量q；
（3）若F做的功W=$\frac{83}{24}$J，棒a上產(chǎn)生的熱量Q是多少．

Answer 1

分析 （1）棒b做勻加速運(yùn)動(dòng)，合力恒定，由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式F_A=BIL得到安培力與時(shí)間t的關(guān)系式，再由牛頓第二定律求解F與t的關(guān)系式即可．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電流的定義式結(jié)合求電量q．
（3）若F做的功W=$\frac{83}{24}$J，結(jié)合第2小題的結(jié)果，求出b棒的速度，再由能量守恒定律求a棒產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）t時(shí)刻b棒的速度 v=a₀t
產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢 E=BLv
感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
b棒所受的安培力 F_A=BIL
聯(lián)立得 F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{a}_{0}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$t=$\frac{{2}^{2}×{1}^{2}×0.1}{0.2+0.3}$t=0.8t （N）
對b棒，根據(jù)牛頓第二定律得 F-F_A=m₂a₀；
則得 F=0.8t+0.1 （N）
（2）a棒剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，有 F_A=μm₁g
又F_A=0.8t N
聯(lián)立解得 t=5s
t時(shí)間內(nèi)，b棒的位移 x=$\frac{1}{2}{a}_{0}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.1×{5}^{2}$=1.25m
通過棒b橫截面的電量 q=$\overline{I}t$=$\frac{\overline{E}t}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{BL\overline{v}t}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{BLx}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{2×1×1.25}{0.2+0.3}$C=5C
（3）a棒剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，b棒的速度為 v=a₀t=0.5m/s
設(shè)回路產(chǎn)生的總熱量為Q_總，根據(jù)能量守恒定律得：W=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}$+Q
解得 Q_總=$\frac{10}{3}$J
故棒a上產(chǎn)生的熱量 Q=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Q_總=$\frac{4}{3}$J≈1.33J
答：（1）力F與時(shí)間t的關(guān)系式為F=0.8t+0.1 （N）；
（2）通過棒b橫截面的電量q是5C；
（3）若F做的功W=$\frac{83}{24}$J，棒a上產(chǎn)生的熱量Q是1.33J．

點(diǎn)評 本題整合了電磁感應(yīng)與力學(xué)多個(gè)知識，正確分析導(dǎo)體棒的受力情況和能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，知道a棒剛要滑動(dòng)時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式求電量、由能量守恒定律求解熱量都是基本思路，要熟練掌握．