Question

16．如圖所示，光滑水平面上靜止放置著一輛平板車A．車上有兩個小滑塊B和C（都可視為質點），B與車板之間的動摩擦因數(shù)為μ，而C與車板之間的動摩擦因數(shù)為2μ，開始時B、C分別從車板的左、右兩端同時以大小相同的初速度v₀相向滑行．經過一段時間，C、A的速度達到相等，此時C和B恰好發(fā)生碰撞．已知A、B、C三者的質量都相等，重力加速度為g．設最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力．求：
（1）開始運動到C、A的速度達到相等時的時間t；
（2）平板車平板總長度L；
（3）從開始運動到C和B發(fā)生碰撞，滑塊C相對A滑動的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動量定理分別對C、A研究，求出開始運動到C、A的速度達到相等時的時間．
（2）由動量定理求出C和B發(fā)生碰撞時B的速度，用平均速度分別求出從開始到C、B碰撞的過程C、B的位移大小，兩者之和等于平板車平板總長度；
（3）C和B發(fā)生碰撞時兩者交換速度．根據(jù)牛頓第二定律運動整體法和隔離法判斷是否相對靜止．再根據(jù)動能定理分別研究C、A的位移．

解答 解：（1）設A、B、C三個物體的質量都為m，從開始到C、A的速度達到相等的過程所用時間為t，C、A相等的速度為v_C，根據(jù)動量定理得
 對C：-2μmgt=mv_C-mv₀
 對A：（2μmg-μmg）t=mv_C
聯(lián)立解得，t=$\frac{{v}_{0}}{3μg}$，v_c=$\frac{1}{3}$v₀
（2）對B，由動量定理得，
-μmgt=mv_B-mv₀
得到，v_B=$\frac{2}{3}$v₀
對C：x_c=$\frac{{v}_{0}+{v}_{c}}{2}$t，
對B：x_B=$\frac{{v}_{0}+{v}_{B}}{2}$t
平板車平板總長度L=x_B+x_C
解得，L=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$
（3）對A：x_A=$\frac{{v}_{A}t}{2}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{18μg}$，A、B、C三者的位移和末速度分別為：
x_A=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{18μg}$，方向向左；
x_B=$\frac{5{{v}_{0}}^{2}}{18μg}$，方向向右；x_c=$\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{9μg}$，方向向左．
 v_A=v_C=$\frac{1}{3}$v₀，方向向左；v_B=$\frac{2}{3}$v₀，方向向右．C和B發(fā)生碰撞時兩者的速度立刻互換，則碰撞后C和B的速度各為：v_c′=$\frac{2}{3}$v₀，方向向右，v_B′=$\frac{1}{3}$v₀，方向向左．
碰撞后B和A的速度相等，設B和A保持相對靜止一起運動，此時對B和A整體有f_C=2μmg=2ma
對B：B受到的摩擦力為f_B′=ma=μmg，說明B和A保持相對靜止一起運動．
設C最后停在車板上時，共同速度為v，由動量守恒定律得
  mv_C′-2mv_B′=2mv
可得，v=0
對這一過程，對C，由動能定理得
-2μmgS_c′=0-$\frac{1}{2}$mv_c′²
對B和A整體，由動能定理得
-2μmgS_A′=0-$\frac{1}{2}$•2m•v_B′²
解得，C和A的位移分別是
  S_c′=$\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{9μg}$，向右，S_A′=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{18μg}$，向左．
則滑塊C相對A滑動的距離△x=$\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{9μg}$+$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{18μg}$=$\frac{5{{v}_{0}}^{2}}{18μg}$
答：（1）開始運動到C、A的速度達到相等時的時間t為$\frac{{v}_{0}}{3μg}$；
（2）平板車平板總長度L為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$；
（3）從開始運動到C和B發(fā)生碰撞，滑塊C相對A滑動的距離為$\frac{5{{v}_{0}}^{2}}{18μg}$．

點評 本題是動量定理、動能定理、動量守恒定律、牛頓第二定律等力學知識的綜合應用，要會選擇解題規(guī)律：涉及力在時間的累積效果可選用動量定理研究．涉及力在空間的累積效果可選用動能定理研究．