Question

如圖a所示，與水平方向成37°角的直線MN下方有與MN垂直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，現(xiàn)將一重力不計(jì)、比荷

q

m

=10⁶c/kg的正電荷置于電場(chǎng)中的O點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)過(guò)

π

15

×10^-5s后，電荷以v₀=1.5×l0⁴m/s的速度通過(guò)MN進(jìn)入其上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)與紙面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B按圖b所示規(guī)律周期性變化（圖b中磁場(chǎng)以垂直紙面向外為正，以電荷第一次通過(guò)MN時(shí)為t=0時(shí)刻）．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（2）圖b中t=

4π

5

×10^-5s時(shí)刻電荷與第一次通過(guò)MN的位置相距多遠(yuǎn)；
（3）如果電荷第一次通過(guò)MN的位置到N點(diǎn)的距離d=68cm，在N點(diǎn)上方且垂直MN放置足夠大的擋板．求電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板所需的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）電荷在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合可求出電場(chǎng)強(qiáng)度E．
（2）電荷進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分別求出電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑和周期，畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系求出t=

4π

5

×10^-5s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離．
（3）電荷在周期性變化的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)周期性分析電荷到達(dá)檔板前運(yùn)動(dòng)的完整周期數(shù)，即可求出荷沿ON運(yùn)動(dòng)的距離．根據(jù)電荷擋板前的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出其運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即得總時(shí)間．

解答：解：（1）電荷在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程，設(shè)其在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，有：
v₀=at₁ 
Eq=ma
聯(lián)立解得：
E=

mv0

qt1

=

1.5×104

106× π 15 ×10-5

=7.2×10³N/C            
（2）當(dāng)磁場(chǎng)垂直紙面向外時(shí)，電荷運(yùn)動(dòng)的半徑：
  r₁=

mv0

B1q

=

1.5×104

0.3×106

=0.05m=5cm
周期：T₁=

2πm

B1q

=

2π

3

×10^-5s
當(dāng)磁場(chǎng)垂直紙面向里時(shí)，電荷運(yùn)動(dòng)的半徑：
r₂=

mv0

B2q

=

1.5×104

0.5×106

=0.03m=3cm
周期：T₂=

2πm

B2q

=

2π

5

×10^-5s   
故電荷從t=0時(shí)刻開(kāi)始做周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
t=

4π

5

×10^-5s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離：△d=2（r₁-r₂）=4cm  
（3）電荷從第一次通過(guò)MN開(kāi)始，其運(yùn)動(dòng)的周期為：T=

4π

5

×10^-5s
根據(jù)電荷的運(yùn)動(dòng)情況可知，電荷到達(dá)檔板前運(yùn)動(dòng)的完整周期數(shù)為15個(gè)，有：
電荷沿ON運(yùn)動(dòng)的距離：s=15×△d=60cm  
故最后8cm的距離如圖所示，有：r₁+r₁cosα=d-s
解得：cosα=0.6   則  α=53°        
故電荷運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t_總=t₁+15T+

1

2

T₁-

53°

360°

T₁=3.86×10^-4s
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E為7.2×10³N/C．
（2）圖b中t=

4π

5

×10^-5s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離為4cm．
（3）電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板所需的時(shí)間為3.86×10^-4s．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，電荷在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合研究是最常用的方法，也可以由動(dòng)量定理處理．電荷在周期性磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，要抓住周期性即重復(fù)性進(jìn)行分析，根據(jù)軌跡求解時(shí)間．