Question

如圖（a），長為L的光滑斜面AB與高臺邊緣光滑相接，BC為一豎直墻，將小球從斜面AB的頂端靜止釋放，小球到達斜面底端后恰能無能量損失地從高臺邊緣水平飛出．高臺底部有另一足夠長的斜面CD．調節(jié)斜面AB的傾角α與斜面CD的傾角β，使小球從斜面AB頂端靜止釋放后，恰能垂直擊中斜面CD．不計空氣阻力，重力加速度為g，α、β為銳角．求：

（1）小球在空中飛行時間t（用α、β和L表示）？

（2）某一研究小組取長為L=0.5m的斜面AB進行實驗，實驗中發(fā)現(xiàn)改變斜面AB的傾角α后，為了使從AB頂端靜止釋放的小球還能垂直擊中斜面，只需對應地調整斜面CD的傾角β．多次實驗并記錄每次α與β的數(shù)值，由實驗數(shù)據得出圖（b）所示擬合直線．請問此坐標系的橫軸表示什么？試求豎直墻BC的高度h（取g=10m/s2）？

（3）在第（2）問中，該研究小組發(fā)現(xiàn)，小球每次垂直打在CD上的落點與豎直墻BC的距離S隨α和β的改變而不同．試求小球在CD上的落點離豎直墻的最大距離Sm？此時傾角α與β各為多大？

Answer 1

考點：

動能定理的應用；勻變速直線運動的位移與時間的關系．.

專題：

動能定理的應用專題．

分析：

（1）對AB過程由動能定理可求得小球的初速度，再由豎直方向的末速度可求得時間；

（2）由平拋運動的規(guī)律可求得對應的函數(shù)關系，并由斜率求得高度；

（3）根據（2）中求出的關系，由數(shù)學規(guī)律可求得最大距離．

解答：

解：（1）對AB段運用動能定理： mv02=mgLsinα

解得：v0=

t==

（2）設小球平拋過程中水平方向和豎直方向的位移分別為x，y

在空中水平距離x=v0t=2Lsinαcotβ

在空中豎直距離y===Lsinαcos2β

由，得

cot2β=，

得到關于與cot2β的關系式，對應圖象橫軸表示，對應圖象橫軸表示

斜率為，由圖象可知斜率為2，故=2，h=1m；           

（3）由第（2）問中x=v0t=sinαcotβ和cot2β=，

x=

當sinα=時，Smax=，此時α=30°

對應β=arccot=35.3°  

答：（1）小球的飛行時間為；

（2）此坐標系的橫軸表示；豎直墻BC的高度h為1m；

（3）小球在CD上的落點離豎直墻的最大距離Sm為；此時傾角α為30°β為35.3°．

點評：

本題考查平拋運動及動能定理的規(guī)律，難點在于數(shù)學知識的應用，要注意根據物理規(guī)律結合幾何關系進行分析求解．