Question

10．自由式滑雪的運動模型可簡化為如圖所示，小球質(zhì)量為m，從高為H的曲面上A點自由釋放并無摩擦地滾入光滑圓弧槽BC，已知圓弧槽BC所對的圓心角為45°，圓弧半徑為R，CD是一個平臺，寬、高都為h．求：
（1）小球到B點時對B點的壓力；
（2）小球從C點飛出到落到D點這一過程中在空中運動的時間；
（3）為使小球能落在CD之間，求$\frac{h}{H}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）小球從A到B過程，由機械能守恒定律求出小球到B點時的速度，再由牛頓運動定律求解小球?qū)�B點的壓力．
（2）先根據(jù)機械能守恒定律求出小球到C點的速度．小球離開C點后做斜拋運動，根據(jù)豎直分運動的規(guī)律求時間．
（3）為使小球能落在CD之間，斜拋的水平位移應滿足：0＜x≤h，由水平位移與時間的關系和機械能守恒結(jié)合解答．

解答 解：（1）從A到B的運動過程中，小球的機械能守恒，則
  mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點，小球受到重力和支持力，由這兩個力的合力提供向心力，則
  N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得  N=mg+$\frac{2mgH}{R}$
由牛頓第三定律得，小球到B點時對B點的壓力大小為mg+$\frac{2mgH}{R}$，方向豎直向下．
（2）小球到C點時，有 mg（H-h）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得 v_C=$\sqrt{2g（H-h）}$
方向與水平方向成45°角，小球從C點飛出后做斜拋運動，豎直方向小球做豎直上拋運動，回到CD平臺的時間為 
   t=$\frac{2{v}_{C}sin45°}{g}$=2$\sqrt{\frac{H-h}{g}}$
（3）小球從C點飛出后在t時間內(nèi)水平飛行的距離為
  x=v_Ccos45°•t=2（H-h）
為使小球能落在CD之間，則須滿足：0＜x≤h，
聯(lián)立得 $\frac{2}{3}$≤$\frac{h}{H}$＜1
答：
（1）小球到B點時對B點的壓力是mg+$\frac{2mgH}{R}$，方向豎直向下．
（2）小球從C點飛出到落到D點這一過程中在空中運動的時間是2$\sqrt{\frac{H-h}{g}}$．
（3）為使小球能落在CD之間，$\frac{h}{H}$的取值范圍是$\frac{2}{3}$≤$\frac{h}{H}$＜1．

點評 解決本題的關鍵要會運用運動的分解法研究斜拋運動，知道斜拋運動水平方向是勻速直線運動，豎直方向是豎直上拋運動．