Question

1．如圖所示，水平放置的光滑平行的金屬導軌上固定有兩個阻值均為R的定值電阻（導軌電阻不計），空間中存在豎直向下的勻強磁場，一質量為m，電阻也為R的金屬棒垂直的放在導軌上，已知金屬棒的長度等于導軌間距為D，某時刻給金屬棒一水平初速度v₀，金屬棒在導軌上運動了L后速度變成V，則關于此過程下面說法中正確的是（　　）

• A． 金屬棒上產生的熱量為$\frac{1}{2}$m（v₀²-v²）
• B． 金屬棒上產生的熱量為$\frac{1}{4}$m（v₀²-v²）
• C． 此區(qū)域內磁感應強度為B=$\frac{1}{D}$$\sqrt{\frac{mR（{v}_{0}-v）}{2L}}$
• D． 此區(qū)域內磁感應強度為B=$\frac{1}{D}$$\sqrt{\frac{3mR（{v}_{0}-v）}{2L}}$

Answer 1

分析 金屬棒動能的減少量等于整個回路產生的熱量，根據(jù)焦耳定律分析金屬棒與兩個定值電阻產生的熱量關系，求解金屬棒上產生的熱量．從加速度入手，運用微元法求解B．

解答 解：
AB、設金屬棒上產生的熱量為Q，每個R上產生的熱量為Q′，通過R的電流為I，根據(jù)焦耳定律得：
Q=（2I）²Rt，Q′=I²Rt，則Q=4Q′；
根據(jù)Q+Q′=$\frac{1}{2}$m（v₀²-v²）得：Q=$\frac{2}{5}$m（v₀²-v²），故AB錯誤．
CD、設金屬棒速度為v時加速度為a，取極短時間△t，則有：
a=$\frac{△v}{△t}$，
得：
△v=a△t；
根據(jù)牛頓第二定律得：a=$\frac{F}{m}$，
棒所受的安培力大小：
F=BIL=$B\frac{BDv}{R+0.5R}•D=\frac{2{B}^{2}{D}^{2}v}{3R}$；
聯(lián)立以上三式可得：
△v=$\frac{2{B}^{2}{D}^{2}v}{3mR}•△t$；
兩邊求和得：
∑△v=∑$\frac{2{B}^{2}{D}^{2}v}{3mR}•△t$
又v△t=△x，
∑v△t=x=L，
聯(lián)立解得：
B=$\sqrt{\frac{3mR（{v}_{0}-v）}{2L}}$，
故C錯誤，D正確．
故選：D．

點評 本題一方面要準確把握能量的分配關系，另一方面要學會：對于變速直線運動，從加速度的定義式入手，運用微元法可以研究力和速度的關系．