Question

11．小球從高h=120m處自由下落，著地后跳起，又落下，每與地面相碰一次，速度減小為著地前的$\frac{1}{2}$，求小球下落到停止所經(jīng)過的路程和時間．（g=10m/s²）

Answer 1

分析 小球自h=120mm高處自由落下，設(shè)小球第一次落地時速度為v₀，進而前三次小球下落的路程，歸納出球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過路程，進而的出從第一次到第n+1次所經(jīng)過的路程的極限；同理可歸納出小球從開始下落到第n次與地面相碰經(jīng)過時間，求出前n項和的極限即可得到答案．

解答 解：設(shè)小球第一次落地時速度為v₀，則有v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×120}$=20$\sqrt{6}$m/s
那么第二，第三，第n+1次落地速度分別為v₁=$\frac{1}{2}$v₀，v₂=（$\frac{1}{2}$）²v₀，…，v_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿv₀
小球開始下落到第一次與地相碰經(jīng)過的路程為 h=120m，
小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的路程是 L₁=2×$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$（\frac{1}{2}）^{2}$$•\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$．
小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過的路程為 L₂=2×$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$=$（\frac{1}{2}）^{4}$$•\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$．
小球第三次與地相碰到第四次與地相碰經(jīng)過的路程為 L₃=$（\frac{1}{2}）^{6}$$•\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$
   …
由數(shù)學(xué)歸納法可知，小球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過路程為 L_n=$（\frac{1}{2}）^{2n}$$•\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$
故小球從開始下落到停止運動所經(jīng)歷時間t和通過的總路程s為：
  S=h+L₁+L₂+L₃…+L_n=120+$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{{v}_{0}^{2}}{g}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=120+3×$\frac{（20\sqrt{6}）^{2}}{10}$=840m
小球從開始下落到第一次與地面相碰經(jīng)過時間 t₀=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×120}{10}}$=2$\sqrt{6}$s．
小球從第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的時間 t₁=2×$\frac{{v}_{1}}{g}$=2×$\frac{1}{2}•\frac{{v}_{0}}{g}$；
小球從第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過的時間 t₂=2×$\frac{{v}_{2}}{g}$=2×$（\frac{1}{2}）^{2}$$•\frac{{v}_{0}}{g}$；
同理可得t_n=2×（$\frac{1}{2}$）ⁿ •$\frac{{v}_{0}}{g}$
故t=t₀+t₁+t₂+…=2$\sqrt{6}$+2×$\frac{\frac{1}{2}•\frac{{v}_{0}}{g}}{1-\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{6}$+$\frac{2×20\sqrt{6}}{10}$=6$\sqrt{6}$s
答：小球下落到停止所經(jīng)過的路程是840m，時間是6$\sqrt{6}$s．

點評 本題主要考查等比數(shù)列的求和公式．可以通過歸納法歸納出其中包含的等比數(shù)列．