Question

2．某雜技團(tuán)表演的節(jié)目可以簡(jiǎn)化為如圖所示的情況：兩名質(zhì)量不等的演員被等長(zhǎng)的輕繩懸在空中，相距很近，若兩人相互推了一下，將各自向后擺動(dòng)，已知質(zhì)量為m的演員最大擺角為α，質(zhì)量為km的演員最大擺角為β，輕繩長(zhǎng)度為L(zhǎng)，不計(jì)氣阻力．人可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g，求：
①兩演員的質(zhì)量之比k．
②兩人相互作用過(guò)程中做的總功．

Answer 1

分析 ①兩個(gè)演員分開的過(guò)程中水平方向的動(dòng)量守恒，分開后都做單擺運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，分別列出公式即可求出兩演員的質(zhì)量之比k；
②演員在分開后從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，由演員的高度即可求出他們的機(jī)械能，再結(jié)合功能關(guān)系即可求出兩人相互作用過(guò)程中做的總功．

解答 解：①兩個(gè)演員分開的過(guò)程中水平方向的動(dòng)量守恒，設(shè)二人剛剛分開時(shí)速度的大小分別為v₁和v₂，則：mv₁=km•v₂
分開后的機(jī)械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=mgl（1-cosα）$
$\frac{1}{2}km{v}_{2}^{2}=kmgl（1-cosβ）$
聯(lián)立得：k=$\sqrt{\frac{1-cosα}{1-cosβ}}$
②兩個(gè)演員分開的過(guò)程中做的總功轉(zhuǎn)化為它們的動(dòng)能，在上升的過(guò)程中又轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能．
演員在到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的重力勢(shì)能分別為：E_P1=mgl（1-cosα）和E_P2=kmgl（1-cosβ）
所以兩個(gè)演員分開的過(guò)程中做的總功：W=E_P1+E_P2
聯(lián)立可得：W=mgl（1-cosα）+kmgl（1-cosβ）=mgl[1-cosα+$\sqrt{（1-cosα）（1-cosβ）}$]
答：①兩演員的質(zhì)量之比是$\sqrt{\frac{1-cosα}{1-cosβ}}$．
②兩人相互作用過(guò)程中做的總功是mgl[1-cosα+$\sqrt{（1-cosα）（1-cosβ）}$]．

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合功能關(guān)系考查動(dòng)量守恒定律，解答的關(guān)鍵是能夠正確寫出二人在最高點(diǎn)時(shí)的重力勢(shì)能的表達(dá)式．
另外，由于二人的初速度都是0，動(dòng)量守恒的表達(dá)式常常寫成：m₁v₁=m₂v₂的形式，而不是：m₁v₁-m₂v₂=0的形式．