Question

5．如圖所示，將質(zhì)量m=2kg的圓環(huán)套在與水平面成θ=37°角的足夠長直桿上，直桿固定不動，環(huán)的直徑略大于桿的截面直徑．桿上依次有三點(diǎn)A、B、C，s_AB=8m，s_BC=0.6m，環(huán)與桿間動摩擦因數(shù)μ=0.5．現(xiàn)在對環(huán)施加一個與桿成37°斜向上大小為20N的拉力F，使環(huán)從A點(diǎn)由靜止開始沿桿向上運(yùn)動，圓環(huán)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)撤去拉力F，此后圓環(huán)從B點(diǎn)繼續(xù)向上運(yùn)動，求此環(huán)從A點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間．（已知重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 分別對撤去力F前后對環(huán)受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列方程求解出環(huán)的加速度拉力a，再根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系求得到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的時(shí)間和速度，到達(dá)C的過程分為兩部分，一為勻減速上升時(shí)到達(dá)C點(diǎn)，二是到達(dá)最高點(diǎn)后再加速下滑時(shí)經(jīng)過C點(diǎn)，故時(shí)間有兩個答案．

解答 解：圓環(huán)從A到B的過程中做勻加速直線運(yùn)動，設(shè)所用時(shí)間為t₁，由受力分析和牛頓第二定律得：
沿著直桿方向有：Fcos37°-mgsin37°-μF_N=ma₁
垂直直桿方向有：F_N+Fsin37°=mgcos37°
聯(lián)立解得：a₁=1m/s²
根據(jù)s_AB=$\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$
得：t₁=4s
圓環(huán)到達(dá)B點(diǎn)的速度為：
v_B=a₁t₁=4m/s
撤去力后向上運(yùn)動過程，對圓環(huán)受力分析，由牛頓第二定律得：
mgsin37°+μmgcos37°=ma₂，
解得加速度大小為：a₂=10m/s²；
圓環(huán)減速到零時(shí)間為t₀，運(yùn)動距離為s，則：v_B=a₂t₀，解得：t₀=0.4s
則s=$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}×10×0.16$=0.8m，
若環(huán)向上經(jīng)過C點(diǎn)，則有：s_BC=v_Bt₂-$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$；
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=0.2s，或者t₂=0.6s（舍去）
當(dāng)環(huán)運(yùn)動到最高點(diǎn)，將再次向下勻加速運(yùn)動，則由牛頓第二定律得：
mgsin37°-μmgcos37°=ma₃，
代入數(shù)據(jù)解得：a₃=2m/s²
環(huán)從最高點(diǎn)下滑到C點(diǎn)時(shí)發(fā)生的位移為：
x=s-s_BC=0.2m
由x=$\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{3}}^{2}$得：t₃=$\frac{\sqrt{5}}{5}$s；
所以，圓環(huán)從A點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間：
t=t₁+t₂=4.2s
或者為：t=t₁+t₀+t₃=$\frac{22+\sqrt{5}}{5}$s．
答：此環(huán)從A點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間為4.2s或$\frac{22+\sqrt{5}}{5}$s．

點(diǎn)評 掌握解決動力學(xué)兩類基本問題的方法和思路：一已知物體的運(yùn)動求物體的受力，二是已知物體的受力求物體的運(yùn)動情況．解決這兩類問題的關(guān)鍵是橋梁根據(jù)牛頓第二定律求出加速度a．