Question

15．同一材料制成的甲、乙兩實心正方體位于某粗糙固定斜面上，由同一高度靜止釋放，它們運動時受到的空氣阻力與正方體的速率無關(guān)，與正方體的邊長成正比，已知甲的質(zhì)量小于乙的質(zhì)量．它們由靜止運動到斜面底端的過程中，下列說法正確的是（　�。�

• A． 甲的末速度小于乙的末速度
• B． 乙的運動時間比甲的短
• C． 甲的加速度大于乙的加速度
• D． 乙克服空氣阻力做的功小于甲克服空氣阻力做的功

Answer 1

分析 根據(jù)動能定理得到末速度與正方體邊長的關(guān)系式，再分析末速度關(guān)系，由位移等于平均速度乘以時間，分析時間關(guān)系．由加速度的定義式分析加速度關(guān)系．由題意：空氣阻力與正方體的速率無關(guān)，分析克服空氣阻力做功的關(guān)系．

解答 解：A、設(shè)任一正方體的邊長為a，密度為ρ．斜面的長度為L，傾角為α．根據(jù)動能定理得：
   ρa³gLsinα-kaL-μρa³gLcosα=$\frac{1}{2}ρ{a}^{3}{v}^{2}$
可得：末速度  v=$\sqrt{2（gLsinα-μgLcosα-\frac{kL}{ρ{a}^{2}}）}$
可知，邊長a越小，末速度v越小，甲的質(zhì)量小，邊長小，則甲的末速度小，故A正確．
B、根據(jù)L=$\frac{v}{2}t$知，L相等，v越大，t越短，則知乙的運動時間比甲的短，故B正確．
C、根據(jù)牛頓第二定律得：ρa³gsinα-ka-μρa³gcosα=ρa³a_加
則得，加速度 a_加=gsinα-μgcosα-$\frac{k}{ρ{a}^{2}}$
a越小，加速度a_加越小，則甲的加速度小于乙的加速度．故C錯誤．
D、克服空氣阻力做的功 W=kaL，可知，a越小，W越小，所以甲克服空氣阻力做的功小于乙克服空氣阻力做的功，故D錯誤．
故選：AB

點評 解決本題的關(guān)鍵要將質(zhì)量、空氣阻力細(xì)化，得到它們與密度、邊長的關(guān)系，由動能定理、牛頓第二定律得到末速度、加速度等與邊長的關(guān)系式，從而進(jìn)行分析．