Question

如圖所示，水平放置長(zhǎng)為L(zhǎng)的平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端安放著垂直于金屬板的靶MN，現(xiàn)在A、B板上加上如圖所示的方波電壓，電壓的正向值為U，反向電壓值為U/2，且每隔T/2換向一次，現(xiàn)有質(zhì)量為m、帶正電且電量為q的粒子束從A、B的中點(diǎn)O沿平行于金屬板OO'方向源源不斷的射入，設(shè)粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B間的飛行時(shí)間均為T．不計(jì)重力的影響，則：

（1）在靶MN上距其中心0′點(diǎn)有粒子擊中的范圍是多少？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U的數(shù)值應(yīng)滿足的條件是什么？
（3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的動(dòng)能是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）帶電粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向在電場(chǎng)力的作用下做勻變速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)粒子在0，T，2T，…nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中時(shí)，粒子將打在O′點(diǎn)下方最遠(yuǎn)點(diǎn)，粒子在豎直方向先向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由位移公式分別求出前時(shí)間內(nèi)和后時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直方向的位移，再粒子打在距O′點(diǎn)正下方的最大位移．當(dāng)粒子在，，…（2n+1）時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，將打在O′點(diǎn)上方最遠(yuǎn)點(diǎn)．粒子在豎直方向先向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)．同理求出粒子打在距O′點(diǎn)正上方的最大位移．
（2）要使粒子能全部打在靶上，粒子在豎直方向距O′點(diǎn)的最大位移小于．代入（1）問的結(jié)論，求解電壓U的數(shù)值應(yīng)滿足的條件．
（3）帶電粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T，求出粒子的初速度．根據(jù)動(dòng)量定理研究豎直方向的分速度，再所有粒子中最大的動(dòng)能．
解答：解：帶電粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向在電場(chǎng)力的作用下做勻變速運(yùn)動(dòng)．粒子打在靶MN上的范圍，就是粒子在豎直方向所能到達(dá)的范圍．
（1）當(dāng)粒子在0，T，2T，…nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中時(shí)，粒子將打在O′點(diǎn)下方最遠(yuǎn)點(diǎn)，在前時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直向下的位移為：
在后時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直向下的位移為：
將v=，代入上式得：
故粒子打在距O′點(diǎn)正下方的最大位移為：
當(dāng)粒子在，，…（2n+1）時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，將打在O′點(diǎn)上方最遠(yuǎn)點(diǎn)．
在前時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直向上的位移為：
   
在后T/2時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直向上的位移為：
   
其中，，，代入上式得：s₂′=0，
故粒子打在距O′點(diǎn)正上方的最大位移為：．
（2）要使粒子能全部打在靶上，須有：，即．
（3）因?yàn)榱Ｗ釉谄叫杏跇O板方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以平行于極板的速度：
設(shè)垂直于極板的速度度為v_y，則據(jù)動(dòng)量定理有：．
則打在靶上粒子的速度為
所以粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的動(dòng)能是E_k==
答：（1）粒子打在距O′點(diǎn)正上方的最大位移為；
    （2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U的數(shù)值應(yīng)滿足的條件是即；
    （3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的動(dòng)能是．
點(diǎn)評(píng)：本題是粒子在周期性變化的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵．