Question

15．在足夠長的傾角為θ=37°的斜面上有一長L=27m的木板，上下表面均與斜面平行，木板與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ₁=0.5．木板上端有一質(zhì)量與木板相同的小物塊（可看成質(zhì)點），物塊和木板上部分的動摩擦因數(shù)為μ₂=0.375，二者均處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示．某時刻起物塊和木板同時開始運動，準(zhǔn)確測量發(fā)現(xiàn)，運動2s后，木板的上表面突然變光滑，但木板與斜面間的動摩擦因數(shù)保持不變．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）在前2秒時間內(nèi)物塊和木板的加速度各為多大
（2）物塊在木板上運動的總時間．

Answer 1

分析 （1）分別以物塊和木板為研究對象，根據(jù)受力情況結(jié)合牛頓第二定律求解加速度大��；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求解木板減速運動的加速度大小并計算減速到零的時間，計算此過程中二者的位移；最后木板靜止，根據(jù)勻加速直線運動求解時間，并求出總的時間

解答 解：（1）設(shè)物塊的加速度為a₁，質(zhì)量為m，沿斜面方向根據(jù)牛頓第二定律可得：
mgsin37°-μ₂mgcos37°=ma₁，
代入數(shù)據(jù)解得a₁=3m/s²；
設(shè)木板的加速度為a₂，沿斜面方向根據(jù)牛頓第二定律可得：
mgsin37°+μ₂mgcos37°-μ₁•2mgcos37°=ma₂，
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=1m/s²；
（2）t₁=2s時間內(nèi)物塊的位移為：x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×3×4m=6m$，
速度大小為：v₁=a₁t₁=3×2m/s=6m/s；
此過程中木板的位移為：${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×1×4m=2m$，
速度大小為：v₂=a₂t₂=1×2m/s=2m/s；
此后木板減速運動的加速度為：a₃=μ₁•2gcos37°-gsin37°=2m/s²，
減速到零的時間為：${t}_{2}=\frac{{v}_{2}}{{a}_{3}}=\frac{2}{2}s=1s$，
此過程中木板的位移為：$x{′}_{2}=\frac{{v}_{2}}{2}{t}_{2}=\frac{2}{2}×1m=1m$，
物塊在光滑部分的加速度為：a₄=gsin37°=6m/s²，
木板減速到零時物塊的位移為：x′₁=v₁t₂+$\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{2}^{2}$=6×1+$\frac{1}{2}×6×{1}^{2}$=9m，
此時物塊的速度為：v₂=v₁+a₄t₂=6+6×1=12m/s，
以后木板靜止，物塊做勻加速直線運動，再經(jīng)過t₃時間滑出木板，則物塊以后加速運動的位移為：x=L-（x₁-x₂）-（x′₁-x′₂）=27-4-8=15m，
根據(jù)位移時間關(guān)系可得：$x={v}_{2}{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{3}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：t₃=1s；
所以物塊在木板上運動的總時間為：t=t₁+t₂+t₃=2s+1s+1s=4s．
答：（1）在前2秒時間內(nèi)物塊的加速度為3m/s²，木板的加速度為1m/s²；
（2）物塊在木板上運動的總時間為4s．

點評 對于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是弄清楚物體的運動過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運動學(xué)的計算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學(xué)和運動學(xué)的橋梁．