Question

4．如圖所示，在一寬為D=0.80m的豎直深井中，長為L=0.40m的細繩上端系一質(zhì)量不計的環(huán)，環(huán)套在光滑水平桿上，在細線的下端吊一個質(zhì)量為m=0.5kg的鐵球（可視作質(zhì)點），球離地的高度h=4.05m，當繩受到大小為10N的拉力時即會斷裂．現(xiàn)讓環(huán)與球一起以v=2m/s的速度向右運動，在A處環(huán)被擋住而立即停止，A離右壁的水平距離也為L=0.40m．不計空氣阻力，球與井壁的碰撞為彈性碰撞、且碰撞時間極短忽略不計，g取10m/S²，試求：
（1）在環(huán)被擋住而立即停止時繩對小球的拉力大小？
（2）在以后的運動中，球與地面碰撞是屬于第幾次碰撞？小球第一次碰撞井壁與碰撞軟泥地面的時間差是多少？
（3）球第一次的落地點離井底壁角B點的距離？小球碰到軟泥地面時損失了80%的機械能，
然后滾動到壁角B點恰好停下，則泥沙對小球運動的平均阻力多大？

Answer 1

分析 （1）在環(huán)由運動到被擋住而立即停止后，小球立即以速率v繞A點做圓周運動，由重力與繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子的拉力；
（2）由上面的結果知道，環(huán)被A擋住的瞬間繩恰好斷裂，此后小球做平拋運動．假設沒有井壁阻擋，由平拋運動的規(guī)律求出小球平拋下落的時間和水平距離．由于球與井壁的碰撞為彈性碰撞，由運動的對稱性求碰撞的次數(shù)和兩次碰撞的時間差．
（3）根據(jù)動能定理得到泥沙對小球運動的平均阻力．

解答 解：（1）在環(huán)被擋住而立即停止后小球立即以速率v繞A點做圓周運動，由牛頓第二定律有：
$F-mg=m\frac{v^2}{L}$…①
繩對小球的拉力大小為：F=2mg=10N…②
（2）根據(jù)上面的計算可知，在環(huán)被A擋住的瞬間繩恰好斷裂，此后小球做平拋運動．若小球沒有井壁阻擋，小球平拋下落時間為：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.9s$…③
水平距離為：s=vt=1.80m…④
由于球與井壁的碰撞為彈性碰撞，由運動的對稱性，且有：1.80m=0.40m+D+0.60m…⑤
可分析出球碰撞了井壁2次，故球與地面碰撞是第3次碰撞．小球開始做平拋運動到第一次碰撞所用時間為：
${t_1}=\frac{L}{v}=0.2s$…⑥
故兩次碰撞的時間差為：△t=t-t₁=0.7s…⑦
（3）由（2）分析可知，小球碰地點到B點的距離為：x=D-0.60m=0.20m…⑧
小球碰地前瞬時的動能為：$E=\frac{1}{2}m{v^2}+mgh$…⑨
根據(jù)動能定理，依題意有：$-\overline fx=0-20%E$…⑩
由⑧⑨⑩式，并代入數(shù)據(jù)，可解得：$\overline f=21.25N$…（11）
答：（1）在環(huán)被擋住而立即停止時繩對小球的拉力大小是10N．
（2）在以后的運動中，球與地面碰撞是屬于第3次碰撞，小球第一次碰撞井壁與碰撞軟泥地面的時間差是0.7s．
（3）球第一次的落地點離井底壁角B點的距離是0.20m，泥沙對小球運動的平均阻力為21.25N．

點評 本題是圓周運動與平拋運動的綜合，運用假設法判斷小球能否與墻碰撞．小球與墻碰撞過程，與光的反射相似，具有對稱性．