Question

11．如圖所示，AB是與水平方向成θ=37°的斜面軌道，軌道的AC部分光滑，CB部分粗糙，BP為圓心角等于143°，半徑R=3m的豎直光滑圓弧形軌道，兩軌道相切于B點，P、O兩點在同一豎直線上，輕彈簧一端固定在A點，另一端在斜面上C點處，現(xiàn)有一質量m=4kg的物塊在外力作用下將彈簧緩慢壓縮到D點后（不栓接）釋放，物塊經過C點時速度為18m/s，$\overline{CD}$=2m，物塊與斜面CB部分之間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，X_BC=9m，P處安裝一個豎直彈性薄擋板，小物塊與擋板碰撞后以原速率彈回，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．
（1）物塊從D點運動到C點的過程中，彈簧對物塊所做的功；
（2）物塊第一次到達P點的速度；
（3）物塊第一次返回斜面后將彈簧壓縮至最短點E（E為DC的中點），則此時彈簧的彈性勢能；
（4）整個運動過程中，物塊在斜面上運動時可以有多少次通過CB之間的M點（M與C相距0.5m）

Answer 1

分析 （1）從D到C的過程中，根據(jù)動能定理列式求出彈簧對物塊所做的功；
（2）從C到P的過程的過程中，根據(jù)動能定理求解速度；
（3）根據(jù)第一問的解析可知，在D點彈簧的彈性勢能，結合彈性勢能表達式${E}_{P}=\frac{1}{2}k△{x}^{2}$求解；
（4）由于只有BC段粗糙，所以只有在BC段運動時才有能量損失，求出每次損失的能量，根據(jù)功能關系求解即可．

解答 解：（1）從D到C的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0={W}_{彈}-mg{x}_{CD}sin37°$
解得：W_彈=696J
（2）從C到P的過程的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=-μmgcos37°{x}_{BC}$-mg（x_BCsin37°+Rcos37°+R）
解得：${v}_{p}=\sqrt{37}m/s$
（3）根據(jù)第一問的解析可知，在D點彈簧的彈性勢能為E_PD=W_彈=696J
根據(jù)${E}_{P}=\frac{1}{2}k△{x}^{2}$且E為DC的中點，可知，${E}_{PE}=\frac{1}{4}{E}_{PD}=174J$
（4）由于只有BC段粗糙，所以只有在BC段運動時才有能量損失，每次損失的能量△E=μmgcos37°x_BC=0.5×40×0.8×9=144J
物體在C點具有的初始能量E=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=628J$，
則物體從P點返回C點時，具有的能量E₁=628-2×144=340J，
再次向上運動到B點的能量E₂=E₁-△E=340-144=196J
再次回到C點的能量E₃=196-144=52J，
此后物體不能到達B點，
設能上升的高度為h，根據(jù)動能定理得：
0-E₃=$-mgh-μmgcos37°\frac{h}{sin37°}$
解得：h=0.78m
而C點距離M點的高度h′=x_CMsin37°=0.5×0.6=0.3m＜0.78m
所以物體能通過M點，
由于mgsin37°＞μmgcos37°，所以物體還會滑下運動到C點，
此后不能上升到M點，所以共經過M點6次．
答：（1）物塊從D點運動到C點的過程中，彈簧對物塊所做的功為696J；
（2）物塊第一次到達P點的速度為$\sqrt{37}m/s$；
（3）物塊第一次返回斜面后將彈簧壓縮至最短點E（E為DC的中點），則此時彈簧的彈性勢能為174J；
（4）整個運動過程中，物塊在斜面上運動時可以有6次通過CB之間的M點．

點評 本題主要考查了動能定理、彈性勢能表達式的直接應用，解題的關鍵是分析清楚物塊的受力情況和運動情況，注意幾何關系在解題中的應用，難度較大．