Question

如圖所示，以兩虛線為邊界，中間存在平行紙面且與邊界垂直的水平電場，寬度為d，兩側(cè)為相同的勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向里．一質(zhì)量為m、帶電量+q、重力不計(jì)的帶電粒子，以初速度v₁垂直邊界射入磁場做勻速圓周運(yùn)動，后進(jìn)入電場做勻加速運(yùn)動，然后第二次進(jìn)入磁場中運(yùn)動，此后粒子在電場和磁場中交替運(yùn)動．已知粒子第二次在磁場中運(yùn)動的半徑是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此類推．求：

（1）粒子第一次經(jīng)過電場的過程中電場力所做的功W₁；

（2）粒子第n次經(jīng)過電場時(shí)電場強(qiáng)度的大小E_n；

（3）粒子第n次經(jīng)過電場所用的時(shí)間t_n；

（4）假設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)，電場區(qū)域場強(qiáng)為零．請畫出從粒子第一次射入磁場至第三次離開電場的過程中，電場強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖線（不要求寫出推導(dǎo)過程，不要求標(biāo)明坐標(biāo)刻度值）．

Answer 1

考點(diǎn)：  帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動；帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的運(yùn)動．

專題：  帶電粒子在磁場中的運(yùn)動專題．

分析：  （1）根據(jù)牛頓第二定律求出粒子第n次進(jìn)入磁場時(shí)的半徑R_n與速度的關(guān)系式，由題給條件研究粒子第2次進(jìn)入磁場時(shí)的速度，即粒子第一次經(jīng)過電場的過程的末速度，根據(jù)動能定理求解粒子第一次經(jīng)過電場的過程中電場力所做的功W₁．

（2）根據(jù)第（1）問的結(jié)果可知粒子第n+1次進(jìn)入磁場時(shí)和第n次進(jìn)入磁場時(shí)的速度，即第n次進(jìn)入電場時(shí)和穿出電場時(shí)的速度，根據(jù)動能定理求出粒子第n次經(jīng)過電場時(shí)電場強(qiáng)度的大小E_n．

（3）根據(jù)牛頓第二定律求出粒子第n次經(jīng)過電場時(shí)的加速度，由（2）結(jié)論，由速度公式求出粒子第n次經(jīng)過電場所用的時(shí)間t_n．

（4）根據(jù)E_n的表達(dá)式，分別求出粒子前三次經(jīng)過電場時(shí)的電場強(qiáng)度，再作圖．

解答：  解：（1）設(shè)粒子第n次進(jìn)入磁場時(shí)的半徑為R_n，速度為v_n，

由牛頓第二定律得：qv_nB=m    ①解得：v_n=  ②

因?yàn)椋簉₂=2r₁，則：v₂=2v₁ ③

對粒子第一次在電場中運(yùn)動的過程，

由動能定理得：W₁=mv₂²﹣mv₁² ④

聯(lián)立③④解得：W₁=mv₁² ⑤；

（2）粒子第n次進(jìn)入電場時(shí)速度為v_n，穿出電場時(shí)速度為v_n+1，

由題意知：v_n=nv₁，v_n+1=（n+1）v₁    …⑥

由動能定理得：qE_nd=mv_n+1²﹣mv_n² ⑦

聯(lián)立⑥⑦解得：E_n=  ⑧；

（3）設(shè)粒子第n次在電場中運(yùn)動的加速度為a_n，

由牛頓第二定律得qE_n=ma_n…⑨

由運(yùn)動學(xué)公式得v_n+1﹣v_n=a_nt_n…⑩

聯(lián)立⑥⑦⑧⑨⑩解得：t_n=；

（4）E﹣t圖象如圖所示：

答：（1）粒子第一次經(jīng)過電場的過程中電場力所做的功W₁為mv₁²；

（2）粒子第n次經(jīng)過電場時(shí)電場強(qiáng)度的大小E_n為；

（3）粒子第n次經(jīng)過電場所用的時(shí)間t_n為；

（4）電場強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖線如圖所示．

點(diǎn)評：  本題關(guān)鍵是充分應(yīng)用題給條件研究粒子第n次進(jìn)入電場時(shí)的速度，穿出電場時(shí)速度．動能定理是功常用的方法．