15.為研究物體的運動,在光滑的水平桌面上建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy,O、A、B是水平桌面內(nèi)的三個點,OB沿x軸正方向,∠BOA=60°,OB=$\frac{3}{2}$OA,第一次將一質(zhì)量為m的滑塊以一定的初動能從O點沿y軸正方向滑出,并同時施加沿x軸正方向的恒力F1,滑塊恰好通過A點,第二次,在恒力F1仍存在的情況下,再在滑塊上施加一個恒力F2,讓滑塊從O點以同樣的初動能沿某一方向滑出,恰好也能通過A點,到達(dá)A點時動能為初動能的3倍;第三次,在上述兩個恒力F1和F2的同時作用下,仍從O點以同樣初動能沿另一方向滑出,恰好通過B點,且到達(dá)B點時的動能是初動能的6倍,求:
(1)第一次運動經(jīng)過A點時的動能與初動能的比值;
(2)兩個恒力F1、F2的大小之比$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$是多少?并求出F2的方向與x軸正方向所成的夾角.

分析 (1)只有恒力F1時,滑塊做類平拋運動,根據(jù)分位移的規(guī)律和牛頓第二定律,求第一次運動經(jīng)過A點時的動能與F1d的關(guān)系,以及初動能與F1d的關(guān)系,即可求解.
(2)加了恒力F2后,小球從O點分別到A點和B點,分別由功能關(guān)系列方程,再結(jié)合恒力做功的特點進(jìn)行解答.

解答 解:(1)設(shè)小球的初速度為v0,初動能為Ek0,從O點運動到A點的時間為t.令OA=d,則OB=$\frac{3}{2}$d,只有恒力F1時,根據(jù)類平拋運動的規(guī)律有:
dsin60°=v0t
dcos60°=$\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}$
又 ax=$\frac{{F}_{1}}{m}$,Ek0=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立以上四式解得 Ek0=$\frac{3}{8}$F1d
設(shè)小球到達(dá)A點時的動能為EkA,則
EkA=Ek0+F1•$\frack4407me{2}$=$\frac{7}{8}$F1d
所以可得 $\frac{{E}_{kA}}{{E}_{k0}}$=$\frac{7}{3}$
(2)由上可得,F(xiàn)1d=$\frac{8}{3}$Ek0
加了恒力F2后,小球從O點分別到A點和B點,由功能關(guān)系得:
WF2=3Ek0-Ek0-F1•$\fracjhe721r{2}$=$\frac{2}{3}$Ek0
WF2′=6Ek0-Ek0-$\frac{3{F}_{1}d}{2}$=Ek0
由恒力做功的特點,可在OB上找到一點M,從O到M點F2做功與到A點做功相同,M點與O點的距離為x,如圖,則有
    $\frac{x}{\frac{3}{2}d}$=$\frac{{W}_{F2}}{{W}_{F2}′}$
解得:x=d
則據(jù)恒力做功特點:F2的方向必沿AM的中垂線,設(shè)F2與x軸正方向的夾角為α,由幾何關(guān)系可得 α=30°
根據(jù)WF2=F2•dcos30°=$\frac{2}{3}$Ek0
得:F2•d=$\frac{4}{3\sqrt{3}}$Ek0
又 F1d=$\frac{8}{3}$Ek0
所以 $\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=2$\sqrt{3}$
答:
(1)第一次運動經(jīng)過A點時的動能與初動能的比值是$\frac{7}{3}$;
(2)兩個恒力F1、F2的大小之比$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$是2$\sqrt{3}$,F(xiàn)2的方向與x軸正方向所成的夾角是30°.

點評 解決本題的關(guān)鍵要掌握類平拋運動的研究方法:運動的合成與分解,運用牛頓運動定律和運動學(xué)公式研究分運動的規(guī)律,結(jié)合功能關(guān)系研究動能.

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