Question

【題目】某電磁軌道炮的簡化模型如圖a所示，兩圓柱形固定導(dǎo)軌相互平行，其對稱軸所在平面與水平面的夾角為θ，兩導(dǎo)軌的長均為L、半徑均為b、每單位長度的電阻均為，兩導(dǎo)軌之間的最近距離為d(d很小).一彈丸質(zhì)量為m(m較小)的金屬彈丸(可視為薄片)置于兩導(dǎo)軌之間，彈丸直徑為d、電阻為R，與導(dǎo)軌保持良好接觸.兩導(dǎo)軌下端橫截面共面，下端(通過兩根與相應(yīng)導(dǎo)軌同軸的、較長的硬導(dǎo)線)與一電流為I的理想恒流源(恒流源內(nèi)部的能量損耗可不計(jì))相連，不考慮空氣阻力和摩擦阻力，重力加速度大小圖a.某電磁軌道炮的簡化模型為g，真空磁導(dǎo)率為μ0.考慮一彈丸自導(dǎo)軌下端從靜止開始被磁場加速直至射出的過程.

(1)求彈丸在加速過程中所受到的磁場作用力；

(2)求彈丸的出射速度；

(3)求在彈丸加速過程中任意時(shí)刻、以及彈丸出射時(shí)刻理想恒流源兩端的電壓；

(4)求在彈丸的整個(gè)加速過程中理想恒流源所做的功:

(5)在θ=0°的條件下，若導(dǎo)軌和彈丸的電阻均可忽略，求彈丸出射時(shí)的動(dòng)能與理想恒流源所做的功之比.

Answer 1

【答案】（1） 方向平行于導(dǎo)軌軸線斜向上 （2）方向平行于導(dǎo)軌軸線斜向上 （3）（4），（5）50%

【解析】

(1)由于彈丸直徑d很小，每根載流導(dǎo)軌均可視為半無限長載流直導(dǎo)線，彈丸上離某導(dǎo)軌軸線距離為r′處的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

(1)

方向垂直于兩導(dǎo)軌對稱軸所在平面斜向下。彈丸長為的一段所受到的磁場作用力(安培力)為

(2)

方向平行于導(dǎo)軌軸線斜向上.彈丸所受到的安培力大小為

(3)

方向平行于導(dǎo)軌軸線斜向上，

(2)設(shè)彈丸的加速度大小為.由牛頓第二定律有

(4)

由(3)(4)式得，彈丸的加速度大小為

(5)

方向平行于導(dǎo)軌軸線斜向上.

彈丸作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，彈丸的出射速度滿足

(6)

由(5)(6)式得

(7)

方向平行于導(dǎo)軌軸線斜向上.

(3)兩導(dǎo)軌之間離某導(dǎo)軌軸線距離為r處(不一定是彈丸上一點(diǎn))的磁場為

(8)

通過兩導(dǎo)軌各自從下端開始長為l的一段以及彈丸長為dr的一-段組成平面回路的磁通量為

(9)

通過兩導(dǎo)軌各自從下端開始長為l的一段以及彈丸組成平面回路的磁通量為

(10)

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢為

(11)

式中是彈丸沿導(dǎo)軌的運(yùn)動(dòng)速度.由全電路歐姆定律得

(12)

式中U為恒流源兩端的電壓。彈丸做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在通電后任意時(shí)刻t有

(13)

(14)

由(11)(12)(13)(14)式得，在時(shí)刻t恒流源兩端的電壓為

即

(14)

由(7)(13)式得，彈丸的加速度時(shí)間為

(16)

由(15)(16)式得，彈丸出射時(shí)電源兩端的電壓為

(17)

(4)在彈丸的整個(gè)加速過程中，恒流源所做的功為

(18)

下面依次計(jì)算(18)式右端的第一項(xiàng)、第二項(xiàng)，和第三項(xiàng):

(19)

(5)彈丸出射時(shí)的動(dòng)能為:

(20)

在的條件下，彈丸出射時(shí)的動(dòng)能為

(21)

若導(dǎo)軌和彈丸的電阻可忽略，恒流源所做的功為

(22)

彈丸出射時(shí)的動(dòng)能與恒流源所做的功之比

=50% (23)