Question

3．某天體的表面無大氣層，其質(zhì)量為地球質(zhì)量的m倍，其半徑為地球半徑的n倍．已知地球表面附近的重力加速度為g，地球的第一宇宙速度為v₁，則（　�。�

• A． 該天體表面附近的重力加速度g₀=$\frac{m}{{n}^{2}}$g
• B． 靠近該天體表面運行的人造衛(wèi)星的線速度v′=$\sqrt{\frac{n}{m}}$v₁
• C． 根據(jù)已知條件，可以求出該天體同步衛(wèi)星的運行速度
• D． 距該天體表面h高處以速度v₀水平拋出一小球，其落地時速度大小v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2gh}$

Answer 1

分析 在星球表面，重力等于萬有引力，據(jù)此列式求解重力加速度；
靠近該天體表面運行的人造衛(wèi)星，萬有引力等于向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解速度；
同步衛(wèi)星的周期等于該天體的自轉(zhuǎn)周期，由于該天體的自轉(zhuǎn)周期未知，無法求解該天體同步衛(wèi)星的運行速度；
根據(jù)平拋運動的規(guī)律求解小球落地的速率，其中重力加速度不等于地球表面的重力加速度；

解答 解：A、根據(jù)萬有引力等于重力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
地球表面附近的重力加速度$g=\frac{G{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{2}}$
天體表面附近的重力加速度${g}_{0}^{\;}=\frac{GM′}{R{′}_{\;}^{2}}=G\frac{m{M}_{地}^{\;}}{（n{R}_{地}^{\;}）_{\;}^{2}}$=$\frac{m}{{n}_{\;}^{2}}g$，故A正確；
B、靠近地球表面運行的人造衛(wèi)星的線速度為${v}_{1}^{\;}$=$\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}$
根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{M′m}{R{′}_{\;}^{2}}=m\frac{v{′}_{\;}^{2}}{R′}$，得$v′=\sqrt{\frac{GM′}{R′}}$=$\sqrt{\frac{Gm{M}_{地}^{\;}}{n{R}_{地}^{\;}}}$=$\sqrt{\frac{m}{n}}\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}$=$\sqrt{\frac{m}{n}}{v}_{1}^{\;}$，故B錯誤；
C、由于不知道該天體的自轉(zhuǎn)周期，所以無法求出該天體同步衛(wèi)星的運行速度，故C錯誤；
D、小球在該天體表面做平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律可知，落地時速度大小為$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+2{g}_{0}^{\;}h}$，其中${g}_{0}^{\;}=\frac{m}{{n}_{\;}^{2}}g$，故D錯誤；
故選：A

點評 本題關(guān)鍵是根據(jù)萬有引力定律列式求解星球表面重力加速度，利用衛(wèi)星的萬有引力提供向心力列式求解第一宇宙速度