Question

如圖14－12所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺以一定角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度大小為g.

圖14－12

(1)若ω＝ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω₀；

(2)若ω＝(1±k)ω₀，且0＜k＜1，求小物塊受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

圖14－13

解析：(1)對小物塊受力分析如圖14－13所示，由于小物塊在豎直方向上沒有加速度，只在水平面上以O₁為圓心做圓周運動，F_N的水平分力F₁提供向心力．所以有

F₂＝F_Ncosθ＝mg，

F₁＝F_Nsinθ＝mrω，

r＝Rsinθ

由以上各式聯(lián)立解得ω₀＝ .

(2) ①當(dāng)ω＝(1＋k)ω₀時，由向心力公式F_n＝mrω²知，ω越大，所需要的F_n越大，此時F₁不足以提供向心力了，物塊要做離心運動，但由于受摩擦阻力的作用，物塊不至于沿罐壁向上運動．故摩擦力的方向沿罐壁向下，如圖14－14所示．對f進行分解，此時向心力由F_N的水平分力F₁和f的水平分力f₁的合力提供

圖14－14

F₂＝f₂＋mg，

F_n＝F₁＋f₁＝mrω²

再利用幾何關(guān)系，并將數(shù)據(jù)代入得f＝mg.

圖14－15

②當(dāng)ω＝(1－k)ω₀時，由向心力公式F_n＝mrω²知，ω越小，所需要的F_n越小，此時F₁超過所需要的向心力了，物塊要做向心運動，但由于受摩擦阻力的作用，物塊不至于沿罐壁向下運動．故摩擦力的方向沿罐壁向上，如圖14－15所示．

對f進行分解，此時向心力由F_N的水平分力F₁和f的水平分力f₁的合力提供

F₂＝f₂＋mg，

F_n＝F₁－f₁＝mrω²

再利用幾何關(guān)系，并將數(shù)據(jù)代入得f＝mg.

答案：(1) 　(2)當(dāng)ω＝(1＋k)ω₀時，f＝mg；當(dāng)ω＝(1－k)ω₀時，f＝mg