Question

過山車是游樂場中常見的設(shè)施．下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m．一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v₀=12.0m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距L₁=6.0m．小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，圓形軌道是光滑的．假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊．重力加速度取g=10m/s²，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字．試求
（1）小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對小球作用力的大��；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是多少；
（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R₃應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)A的距離．

Answer 1

（1）設(shè)小球經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₁根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μmgL₁-2mgR₁=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀² ①
小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律有：
             F+mg=m

v 21

R1

        ②
由 ①、②得               F=10.0 N  ③
（2）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v₂，由小球恰能通過第二圓形軌道有：
                 mg=m

v 22

R2

     ④
-μmg（L₁+L）-2mgR₂=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₀²  ⑤
由④、⑤得             L=12.5m    ⑥
（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：
 I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v₃，應(yīng)滿足
               mg=m

v 23

R3

  ⑦
-μmg（L₁+2L）-2mgR₃=

1

2

mv₃²-

1

2

mv₀² ⑧
由 ⑥、⑦、⑧得            R₃=0.4m
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R₃，根據(jù)動(dòng)能定理
-μmg（L₁+2L）-2mgR₃=0-

1

2

mv₀²             
解得                   R₃=1.0m
為了保證圓軌道不重疊，R₃最大值應(yīng)滿足
                （R₂+R₃）²=L²+（R₃-R₂）²
解得               R₃=27.9m
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件
  0＜R₃≤0.4m或  1.0m≤R₃≤27.9m
當(dāng)0＜R₃≤0.4m時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L′，則
-μmgL′=0-

1

2

mv₀²     
             L′=36.0m
當(dāng)1.0m≤R₃≤27.9m時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L〞，則
                 L″=L′-2（L′-L₁-2L）=26.0m
答：（1）小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對小球作用力的大小為10.0N；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是12.5m；
（3）第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件  0＜R₃≤0.4m或  1.0m≤R₃≤27.9m
當(dāng)0＜R₃≤0.4m時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為36.0m
當(dāng)1.0m≤R₃≤27.9m時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為26.0m．