Question

19．如圖所示為一單擺的共振曲線，該單擺的擺長(zhǎng)為多少？共振時(shí)單擺的振幅多大？共振時(shí)擺球的最大速度和最大加速度各為多少？（取g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)共振圖線得出單擺的固有頻率，從而得出固有周期，結(jié)合單擺的周期公式求出單擺的擺長(zhǎng)．
（2）由圖即可讀出共振時(shí)單擺的振幅．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合幾何關(guān)系求出擺球的最大速度．根據(jù)受力分析求出擺球的回復(fù)力．

解答 解：（1）由共振曲線可知，單擺的固有頻率為0.5Hz，固有周期為2s；
根據(jù)T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{g}}$，
得：l=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}=\frac{4}{4}m=1m$．
（2）由圖象可知，共振時(shí)，振幅為A=8cm，
（3）設(shè)單擺偏離豎直方向的最大偏角為θ，則當(dāng)擺球擺到最低點(diǎn)時(shí)，速度最大，由機(jī)械能守恒（或動(dòng)能定理）有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}=mgl（1-cosθ）$；
由余弦定理求得：$cosθ=\frac{{l}^{2}+{l}^{2}-{A}^{2}}{2{l}^{2}}=1-\frac{{A}^{2}}{2{l}^{2}}$；
從而最大速度為：${v}_{m}=\frac{A}{l}\sqrt{gl}≈0.25m/s$．
擺球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，擺球的回復(fù)力最大，此時(shí)：
mgsinθ=ma_m
所以最大回復(fù)力：${F}_{回}=m{a}_{m}=mgsinθ=mg•\frac{A}{l}=0.2×10×\frac{0.08}{1}=0.16$N．
答：該單擺的擺長(zhǎng)約為1m．共振時(shí)擺球的振幅是8cm；共振時(shí)擺球的最大速度大小是0.25m/s，最大回復(fù)力是0.16N．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了單擺與動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道共振產(chǎn)生的條件，以及知道擺球圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源．