Question

【題目】如圖軌道Ⅲ為地球同步衛(wèi)星軌道，發(fā)射同步衛(wèi)星的過(guò)程可以筒化為以下模型：先讓衛(wèi)星進(jìn)入一個(gè)近地圓軌道Ⅰ（離地高度可忽略不計(jì)），經(jīng)過(guò)軌道上點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火加速，進(jìn)入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ。該橢圓軌道Ⅱ的近地點(diǎn)為圓軌道Ⅰ上的點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)為同步圓軌道Ⅲ上的點(diǎn)。到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)再次點(diǎn)火加速，進(jìn)入同步軌道Ⅲ。已知引力常量為，地球質(zhì)量為，地球半徑為，飛船質(zhì)量為，同步軌道距地面高度為。當(dāng)衛(wèi)星距離地心的距離為時(shí)，地球與衛(wèi)星組成的系統(tǒng)的引力勢(shì)能為（取無(wú)窮遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為零），忽略地球自轉(zhuǎn)和噴氣后飛船質(zhì)量的変化，問(wèn)：

（1）在近地軌道Ⅰ上運(yùn)行時(shí)，飛船的動(dòng)能是多少？

（2）若飛船在轉(zhuǎn)移軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有引力做功，引力勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化。已知飛船在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)行中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的速率為，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的速率多大？

（3）若在近地圓軌道Ⅰ上運(yùn)行時(shí)，飛船上的發(fā)射裝置短暫工作，將小探測(cè)器射出，并使它能脫離地球引力范圍（即探測(cè)器可以到達(dá)離地心無(wú)窮遠(yuǎn)處），則探測(cè)器離開(kāi)飛船時(shí)的速度（相對(duì)于地心）至少是多少？（探測(cè)器離開(kāi)地球的過(guò)程中只有引力做功，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為引力勢(shì)能）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）萬(wàn)有引力提供向心力，求出速度，然后根據(jù)動(dòng)能公式進(jìn)行求解；

（2）根據(jù)能量守恒進(jìn)行求解即可；

（3）將小探測(cè)器射出，并使它能脫離地球引力范圍，動(dòng)能全部用來(lái)克服引力做功轉(zhuǎn)化為勢(shì)能；

（1）在近地軌道（離地高度忽略不計(jì)）Ⅰ上運(yùn)行時(shí)，在萬(wàn)有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

即：

則飛船的動(dòng)能為；

（2）飛船在轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有引力做功，引力勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化。由能量守恒可知?jiǎng)幽艿臏p少量等于勢(shì)能的増加量：

若飛船在橢圓軌道上運(yùn)行，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)速率為，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)速率為：

；

（3）若近地圓軌道運(yùn)行時(shí)，飛船上的發(fā)射裝置短暫工作，將小探測(cè)器射出，并使它能脫離地球引力范圍（即探測(cè)器離地心的距離無(wú)窮遠(yuǎn)），動(dòng)能全部用來(lái)克服引力做功轉(zhuǎn)化為勢(shì)能

即：

則探測(cè)器離開(kāi)飛船時(shí)的速度（相對(duì)于地心）至少是：。