Question

6．如圖，一個(gè)質(zhì)量為m=0.6kg的小球，在左側(cè)平臺(tái)上運(yùn)行一段距離后從邊緣A點(diǎn)以v₀=$\frac{20}{3}$m/s水平飛出，恰能沿圓弧切線從P點(diǎn)進(jìn)入固定在地面上的豎直的圓弧管道，并繼續(xù)滑行．已知圓弧管道口內(nèi)徑遠(yuǎn)小于圓弧半徑R，OP與豎直方向的夾角是θ=37°，平臺(tái)到地面的高度差為h=1.45m．若小球運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度大小是v₁=10m/s．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)所需的時(shí)間t；
（2）P點(diǎn)距地面的高度△h和圓弧半徑R；
（3）小球?qū)�圓弧軌道最低點(diǎn)的壓力F_N大�。�
（4）若通過(guò)最高點(diǎn)Q點(diǎn)時(shí)小球?qū)�管上壁的壓力大�?N，求小球經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度v₂大�。�

Answer 1

分析 （1）恰好從光滑圓弧PQ的P點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧，說(shuō)明到到P點(diǎn)的速度v_P方向與水平方向的夾角為θ，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式即可求解時(shí)間；
（2）由：${h}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$求出小球下落的高度，在由幾何關(guān)系即可求出P點(diǎn)距地面的高度△h和圓弧半徑R；
（3）對(duì)小球在最低點(diǎn)的受力分析，根據(jù)向心力公式結(jié)合幾何關(guān)系即可求解；
（4）對(duì)小球在最高點(diǎn)進(jìn)行受力分析，根據(jù)向心力公式即可求解．

解答 解：（1）對(duì)P點(diǎn)的速度矢量分解，有：$tan37°=\frac{v_y}{v_x}=\frac{gt}{v_0}$ 
代入數(shù)據(jù)得：t=0.5s
（2）豎直方向小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，由：${h}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×0．{5}^{2}$=1.25m
由幾何關(guān)系，P點(diǎn)高度：h₂=h-h₁=0.2m
有幾何關(guān)系：$\frac{R-△h}{R}=cos37°$
代入數(shù)據(jù)得：R=1m
（3）在最低點(diǎn)，支持力與重力的和提供小球的向心力，得：${F}_{N1}-mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：F_N1=66N
由牛頓第三定律得小球?qū)�圓弧軌道最低點(diǎn)的壓力：F_N1′=F_N1=66N
（4）由${F}_{N2}+mg=\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}$
帶入數(shù)據(jù)得：v₂=5m/s
答：（1）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)所需的時(shí)間是0.5s；
（2）P點(diǎn)距地面的高度△h是0.2m，圓弧半徑是1m；
（3）小球?qū)�圓弧軌道最低點(diǎn)的壓力F_N大小是66N；
（4）若通過(guò)最高點(diǎn)Q點(diǎn)時(shí)小球?qū)�管上壁的壓力大�?N，小球經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度v₂大小是5m/s．

點(diǎn)評(píng) 恰能無(wú)碰撞地沿圓弧切線從B點(diǎn)進(jìn)入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的關(guān)鍵，理解了這句話就可以求得小球的末速度，本題很好的把平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起運(yùn)用機(jī)械能守恒解決，能夠很好的考查學(xué)生的能力，是道好題．本題是平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的典型題目，除了運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式外，求速度的問(wèn)題，動(dòng)能定理不失為一種好的方法．