Question

15．“蹦極”是勇敢者的游戲．質(zhì)量m=50kg的蹦極運(yùn)動(dòng)員身系勁度系數(shù)k=62.5N/m、自然長(zhǎng)度l=12m的彈性繩從水面上方的高臺(tái)跳下，到最低點(diǎn)時(shí)距水面還有數(shù)米．某同學(xué)通過(guò)查詢資料知彈性繩的彈性勢(shì)能E_p=kx²（x為形變量）．若在下落過(guò)程中．運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，空氣阻力忽略不計(jì)．g=10m/s²，求：
（1）在下落過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的最大速度v．
（2）下落的最低點(diǎn)距水平高臺(tái)的高度h．

Answer 1

分析 （1）在整個(gè)過(guò)程中對(duì)人受力分析，在繩的彈力等于人的重力之前，人一直是加速的，繩的彈力等于人的重力之后，人開始做減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)人的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析可以知道其中能量的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得出結(jié)論．
（2）下落到最低點(diǎn)時(shí)，人的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為繩子的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）在繩的彈力等于人的重力之前，人一直是加速的，當(dāng)繩子的拉力與人的重力相等時(shí)，人的速度最大，此時(shí)：
繩子的伸長(zhǎng)量：${x}_{1}=\frac{mg}{k}=\frac{50×10}{62.5}=8$m
根據(jù)機(jī)械能守恒得：$mg（l+{x}_{1}）=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v=8$\sqrt{5}$m/s
（2）下落到最低點(diǎn)時(shí)人的速度為0，人的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為繩子的彈性勢(shì)能，則：
$mg（l+{x}_{2}）=k{x}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：x₂=14.6m
所以下落的最低點(diǎn)距水平高臺(tái)的高度為：h=l+x₂=12+14.6=26.6m
答：（1）在下落過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的最大速度是8$\sqrt{5}$m/s．
（2）下落的最低點(diǎn)距水平高臺(tái)的高度是26.6m．

點(diǎn)評(píng) 人在下降的過(guò)程中受力的分析是解決本題的關(guān)鍵，繩的彈力等于人的重力這是一個(gè)臨界點(diǎn)，再根據(jù)機(jī)械能守恒的條件可以判斷人機(jī)械能的變化情況．