Question

4．當(dāng)前，高樓遇險(xiǎn)逃生措施及訓(xùn)練引起高度關(guān)注．有人設(shè)想在消防云梯上再伸出輕便的滑竿解救受困人員，解決云梯高度不夠高的問(wèn)題．如圖所示，在一次消防演習(xí)中模擬解救被困人員，為了安全，被困人員使用安全帶上掛鉤掛在滑竿上從高樓A點(diǎn)沿滑桿下滑逃生．滑桿由AO、OB兩段直桿通過(guò)光滑轉(zhuǎn)軸在O處連接，將被困人員和掛鉤理想化為質(zhì)點(diǎn)，且通過(guò)O點(diǎn)的瞬間沒(méi)有機(jī)械能的損失．AO長(zhǎng)為L(zhǎng)₁=5m，OB長(zhǎng)為L(zhǎng)₂=10m．豎直墻與云梯上端點(diǎn)B的間距d=11m．滑桿A端用掛鉤鉤在高樓的固定物上，可自由轉(zhuǎn)動(dòng)．B端用鉸鏈固定在云梯上端．掛鉤與兩段滑桿間動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.8．（g=10m/s²）
（1）若測(cè)得OB與豎直方向夾角為53°，求被困人員在滑桿AO上下滑時(shí)加速度的大小及方向？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（2）為了安全，被困人員到達(dá)云梯頂端B點(diǎn)的速度大小不能超過(guò)6m/s，若A點(diǎn)高度可調(diào)，豎直墻與云梯上端點(diǎn)B的間距d=11m不變，求滑桿兩端點(diǎn)A、B間的最大豎直距離？

Answer 1

分析 （1）對(duì)AO由幾何關(guān)系可求得夾角，對(duì)人受力分析可求得加速度的大小及方向；
（2）對(duì)全程由動(dòng)能定理可得出重力及摩擦力做功與動(dòng)能的關(guān)系，由幾何關(guān)系可求得最大距離．

解答 解：（1）設(shè)桿OA、OB與水平方向夾角為α、β，由幾何關(guān)系：
  d=L₁cosα+L₂cosβ
得出AO桿與水平方向夾角 α=53°                    
由牛頓第二定律得 mgsinθ-μmgcosθ=ma               
在AO段運(yùn)動(dòng)的加速度：a=gsin53°-μgcos53°=3.2 m/s²    
方向沿AO桿向下．                              
（2）設(shè)滑竿兩端點(diǎn)AB的最大豎直距離為h，對(duì)下滑全過(guò)程由動(dòng)能定理得：
mgh-μmgL₁cosα′-μmgL₂cosβ′=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0         
其中d=L₁cosα′+L₂cosβ′=11，v≤6 m/s
所以：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$+μd≤10.6m                          
又因?yàn)槿魞蓷U伸直，AB間的豎直高度為：
h′=$\sqrt{（{L}_{1}+{L}_{2}）^{2}-b7nblbl^{2}}$=$\sqrt{104}$m≈10.2m＜10.6m                             
所以AB間最大豎直距離應(yīng)為：h_m=10.2m．                  
答：（1）被困人員在滑桿AO上下滑時(shí)加速度的大小為3.2 m/s²，方向沿AO桿向下．      
（2）滑桿兩端點(diǎn)A、B間的最大豎直距離是10.2m．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)在于對(duì)幾何關(guān)系的認(rèn)識(shí)，要注意找出題目中的臨界條件，再結(jié)合能量關(guān)系即可求出所要求的量來(lái)