Question

5．一半徑為R、質(zhì)量可視為均勻分布的球形行星的密度為ρ，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)₀，若萬(wàn)有引力常量為G，則（　�。�

• A． 該行星表面重力加速度在兩極的大小為$\frac{4}{3}$GρRπ
• B． 該行星的衛(wèi)星在星球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)的速率為2πR$\sqrt{\frac{3π}{ρG}}$
• C． 該行星的同步衛(wèi)星的軌道半徑為R（$\frac{ρG{T}_{0}^{2}}{3π}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$
• D． 該行星的同步衛(wèi)星的運(yùn)行速率為$\frac{2πR}{{T}_{0}}$

Answer 1

分析 利用行星兩極物體所受的萬(wàn)有引力等于重力求出重力加速度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力結(jié)合行星密度可以求出行星的衛(wèi)星在星球表面圓周運(yùn)動(dòng)的速度，行星同步衛(wèi)星的周期等于行星自轉(zhuǎn)周期，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得到軌道半徑，行星運(yùn)行速率根據(jù)v=ωr求解

解答 解：（1）對(duì)于放置于行星兩極的質(zhì)量為m的物體，由萬(wàn)有引力等于重力得出：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得：$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$…①
其中$M=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$…②
聯(lián)立①②得：$g=\frac{4}{3}gρRπ$，故A正確
B、衛(wèi)星繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力等于向心力，有：
${F}_{引}^{\;}={F}_{向}^{\;}$
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
由于$M=ρV=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
所以有$v=\sqrt{\frac{4π{R}_{\;}^{2}ρG}{3}}$，故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{r}_{行}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}{r}_{行}^{\;}$
得：${r}_{行}^{\;}=\root{3}{\frac{GM{T}_{0}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
由于M=ρV=$ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
解得：${r}_{行}^{\;}=\root{3}{\frac{Gρ{R}_{\;}^{3}{T}_{0}^{2}}{3π}}$，故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)$v=ω{r}_{行}^{\;}$，該行星的同步衛(wèi)星的軌道半徑不等于行星半徑R，故D錯(cuò)誤．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理模型，關(guān)鍵是抓住兩條核心規(guī)律：一是萬(wàn)有引力等于向心力，二是重力等于萬(wàn)有引力，另外要注意同步衛(wèi)星的特點(diǎn)：定周期、定軌道、定高度．