Question

7．如圖所示，質(zhì)量m=50kg的運(yùn)動(dòng)員（可視為質(zhì)點(diǎn)），在河岸上A點(diǎn)緊握一根長L=5.0m的不可伸長的輕繩，輕繩另一端系在距離水面高H=10.0m的O點(diǎn)，此時(shí)輕繩與豎直方向的夾角為θ=37°，C點(diǎn)是位于O點(diǎn)正下方水面上的一點(diǎn)，距離C點(diǎn)x=4.8m處的D點(diǎn)有一只救生圈，O、A、C、D各點(diǎn)均在同一豎直面內(nèi)．若運(yùn)動(dòng)員抓緊繩端點(diǎn)，從臺(tái)階上A點(diǎn)沿垂直于輕繩斜向下以一定初速度v₀躍出，當(dāng)擺到O點(diǎn)正下方的B點(diǎn)時(shí)松開手，最終恰能落在救生圈內(nèi)．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）求：
（1）運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)速度的大小v_B；
（2）運(yùn)動(dòng)員從臺(tái)階上A點(diǎn)躍出時(shí)的動(dòng)能E_k；
（3）若初速度v₀不一定，且使運(yùn)動(dòng)員最終仍能落在救生圈內(nèi)，則救生圈離C點(diǎn)距離x將隨運(yùn)動(dòng)員離開A點(diǎn)時(shí)初速度υ₀的變化而變化．試寫出x與v₀的函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)動(dòng)員從B點(diǎn)到D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得在B點(diǎn)的速度的大小；
（2）從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中人的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可以求得人的初動(dòng)能的大小；
（3）人離開B點(diǎn)之后做的是平拋運(yùn)動(dòng)，所以水平方向是勻速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可以表示出初速度的大小，從而可以求得x和初速度v₀的關(guān)系．

解答 解：（1）運(yùn)動(dòng)員從B點(diǎn)到D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  $H-L=\frac{1}{2}g{t^2}$
  x=υ_Bt
由①②式代入數(shù)據(jù)解得 υ_B=4.8m/s
（2）運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：
mgh_AB=$\frac{1}{2}m{υ_B}^2$-E_k  其中 h_AB=L（1-cosθ）
由③④式代入數(shù)據(jù)解得 E_k=76J
（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)員經(jīng)O點(diǎn)正下方時(shí)的速度為υ′_B，則
  $\frac{1}{2}m{υ'_B}^2$-$\frac{1}{2}m{υ_0}^2$=mg（H-Lcos37°-h）      
  x=${υ'_B}•\sqrt{\frac{2h}{g}}$
解得：x²-$υ_0^2$=20
答：
（1）運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)速度的大小v_B是4.8m/s．
（2）運(yùn)動(dòng)員從臺(tái)階上A點(diǎn)躍出時(shí)的動(dòng)能E_k是76J．
（3）x與v₀的函數(shù)是x²-$υ_0^2$=20．

點(diǎn)評(píng) 本題是兩個(gè)過程的問題，要把握每個(gè)過程和狀態(tài)的規(guī)律，運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律、動(dòng)能定理、牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合進(jìn)行研究．