Question

11．有人設(shè)計(jì)了一種可測速的跑步機(jī)．測速原理如圖所示，該機(jī)底面固定有間距為L、長度為d的平行金屬電極．電極間充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，理想伏特表和電阻R并聯(lián)后接在電極的兩端．絕緣橡膠帶上固定有間距為d的平行細(xì)金屬條，橡膠帶在電動機(jī)帶動下運(yùn)動時，金屬條將隨著橡膠帶進(jìn)入磁場區(qū)域，金屬條跟電極接觸良好，金屬條的電阻均為r，其他部分的電阻均可忽略不計(jì)．

（1）寫出橡膠帶運(yùn)動速度v跟伏特表示數(shù)U之間的表達(dá)式；
（2）橡膠帶以速度v₁勻速運(yùn)動時，每根金屬條穿過磁場區(qū)域克服安培力做的功；
（3）關(guān)閉電動機(jī)，運(yùn)動員在跑步機(jī)上跑步時對橡膠帶的靜摩擦力也可以帶動橡膠帶運(yùn)動，這種跑步機(jī)被稱為機(jī)械式跑步機(jī)．假定橡膠帶在此種情況下運(yùn)動時受到的機(jī)械阻力跟速度的平方成正比，即f=kv²，k為比例常數(shù)，并且運(yùn)動員消耗的體能全部用來維持橡膠帶勻速運(yùn)動．求橡膠帶以速度v₂勻速運(yùn)動時運(yùn)動員消耗的功率．

Answer 1

分析 （1）磁場中始終有一根金屬條切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，相當(dāng)于電源，電壓表測量路端電壓．由感應(yīng)電動勢公式E=BLv和歐姆定律等等知識求解．
（2）根據(jù)感應(yīng)電動勢公式E=BLv、歐姆定律和安培力公式F=BIL，求出安培力的大小，即可由功的公式求解克服安培力做的功．
（3）橡膠帶勻速運(yùn)動，運(yùn)動員對橡膠帶的摩擦力大�。篎=f+F₂，據(jù)題f=kv₂²，安培力F₂=BI₂L，運(yùn)動員消耗的最小功率：P=Fv₂，結(jié)合求解橡膠帶以速度v₂勻速運(yùn)動時運(yùn)動員消耗的功率P．

解答 解：（1）金屬條做切割磁感線運(yùn)動產(chǎn)生的電動勢大小為：E=BLv
回路中的電流大小為：I=$\frac{E}{R+r}$
伏特表的示數(shù)為：U=IR            
解得：v=$\frac{R+r}{BLR}U$      
（2）金屬條中的電流為：I₁=$\frac{BL{v}_{1}}{R+r}$          
金屬條受的安培力大小為：F₁=BI₁L  
金屬條克服安培力做功為：W=F₁d=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d{v}_{1}}{R+r}$
（3）運(yùn)動員對橡膠帶的摩擦力大小為：F=f+F₂
據(jù)題有：f=kv²
又 F₂=BI₂L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}$
運(yùn)動員消耗的最小功率為：P=Fv₂=（ f+F₂）v₂
聯(lián)立得：P=${v}_{2}^{2}$（kv₂+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$）
答：（1）橡膠帶運(yùn)動速度v跟伏特表示數(shù)U之間的表達(dá)式為v=$\frac{R+r}{BLR}U$．
（2）每根金屬條穿過磁場區(qū)域克服安培力做的功是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d{v}_{1}}{R+r}$．
（3）橡膠帶以速度v₂勻速運(yùn)動時運(yùn)動員消耗的功率為${v}_{2}^{2}$（kv₂+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$）．

點(diǎn)評 本題是理論聯(lián)系實(shí)際問題，關(guān)鍵是建立物理模型，綜合運(yùn)用電磁感應(yīng)知識、電路知識、力學(xué)知識解題，要有分析和解決實(shí)際問題的能力．