Question

3．北京時(shí)間2009年3月1日16時(shí)13分10秒，嫦娥一號(hào)衛(wèi)星在北京航天飛行控制中心科技人員的精確控制下，成功地實(shí)施了對(duì)月球的撞擊．現(xiàn)將嫦娥一號(hào)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)過程做以下簡(jiǎn)化處理：設(shè)嫦娥一號(hào)衛(wèi)星質(zhì)量為m，在距月球表面高h(yuǎn)處繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力勢(shì)能為E_p（以月球表面為零勢(shì)能面）．在飛行控制中心的指令下發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火向前噴射氣體，使衛(wèi)星瞬間減速制動(dòng)．在：此過程中衛(wèi)星克服阻力做功，其大小為W，之后變軌撞向月球．已知月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，忽略月球自轉(zhuǎn)影響．求：
（1）嫦娥一號(hào)衛(wèi)星制動(dòng)前繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速率；
（2）衛(wèi)星剛撞到月球表面時(shí)的速率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力，求出嫦娥一號(hào)衛(wèi)星制動(dòng)前繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速率；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出減速制動(dòng)后的速度，結(jié)合機(jī)械能守恒定律求出衛(wèi)星剛撞到月球表面時(shí)的速率．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$得嫦娥一號(hào)衛(wèi)星的速率為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，
根據(jù)GM=gR²，
解得：v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得：-W=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
制動(dòng)后撞向月球，設(shè)到達(dá)月球表面的速度為v₃，由機(jī)械能守恒定律得：
${E}_{p}+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$，
聯(lián)立解得：v₃=$\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}+\frac{g{R}^{2}}{R+h}-\frac{2W}{m}}$．
答：（1）嫦娥一號(hào)衛(wèi)星制動(dòng)前繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速率為$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$；
（2）衛(wèi)星剛撞到月球表面時(shí)的速率為$\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}+\frac{g{R}^{2}}{R+h}-\frac{2W}{m}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律理論與動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒的綜合，掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．