Question

10．如圖所示，在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線拴一質(zhì)量為m帶電量為+q的小球，小球不運(yùn)動(dòng)時(shí)停在B處，B處細(xì)線與豎直方向成37°，當(dāng)?shù)刂亓�加速度為g，空氣阻力不計(jì)．現(xiàn)將小球拉到最低位置A點(diǎn)由靜止釋放（Sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小
（2）小球運(yùn)動(dòng)過程所能獲得的最大動(dòng)能
（3）要想小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A處至少要給小球多大的初速？

Answer 1

分析 （1）小球靜止A點(diǎn)時(shí)，受到重力、電場(chǎng)力和繩子的拉力而平衡，根據(jù)平衡條件求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)由靜止釋放，小球向上擺動(dòng)過程中經(jīng)過平衡位置時(shí)速度最大，動(dòng)能最大．
（3）當(dāng)小球恰好到達(dá)B點(diǎn)關(guān)于懸點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，由電場(chǎng)力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)這點(diǎn)的速度，由動(dòng)能定理求出初速度．

解答 解：（1）小球靜止A點(diǎn)時(shí)，受力如圖所示
據(jù)三力平衡條件，得   tanθ=$\frac{qE}{mg}$
         解得，E=$\frac{mgtanθ}{q}$=$\frac{mgtan37°}{q}$
（2）小球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)速度最大，由動(dòng)能定理，得
   qELsinθ-mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv² ②
  則最大動(dòng)能為E_K=qELsin37°-mgL（1-cos37°）
（3）設(shè)B′點(diǎn)與B點(diǎn)對(duì)懸點(diǎn)O對(duì)稱，即B′B為圓軌跡的直徑，當(dāng)小球恰好能運(yùn)動(dòng)到B′點(diǎn)時(shí)，就能在豎直面內(nèi)恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)
    在B′點(diǎn)，重力與電場(chǎng)力的合力提供向心力$\frac{mg}{cosθ}$=m$\frac{{V}_{B′}^{2}}{L}$
設(shè)將小球拉至O點(diǎn)正下方最低點(diǎn)時(shí)給它一水平向右的初速度為v₀，由動(dòng)能定理，得
-2mgLcosθ-qELsinθ=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v₀=$\sqrt{\frac{3gL}{cosθ}+2gLcosθ}$=$\sqrt{\frac{3gL}{cos37°}+2gLcos37°}$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為=$\frac{mgtan37°}{q}$
（2）小球運(yùn)動(dòng)過程所能獲得的最大動(dòng)能為qELsin37°-mgL（1-cos37°）

（3）要想小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在A處至少要給小球初速為$\sqrt{\frac{3gL}{cos37°}+2gLcos37°}$

點(diǎn)評(píng) 本題小球的運(yùn)動(dòng)類似于單擺，關(guān)于平衡位置具有對(duì)稱性，α=2θ．B點(diǎn)相當(dāng)于豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，也稱為物理最高點(diǎn)